Найдите синус, косинус, тангенс углов А и В прямоугольного треугольника АВС, если: а) АC = 3, AВ = 5; б) АС=10, ВС=8; в) ВС = 3v3, AB=6v2.

Чтобы найти синус, косинус и тангенс углов \( A \) и \( B \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), нам нужны длины сторон треугольника. Используем основные определения тригонометрических функций для прямоугольного треугольника:

• Синус угла \( \alpha \) (например, угла \( A \)) равен отношению противолежащей стороны к гипотенузе: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

• Косинус угла \( \alpha \) равен отношению прилежащей стороны к гипотенузе: \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

• Тангенс угла \( \alpha \) равен отношению противолежащей стороны к прилежащей: \[ \tan A = \frac{BC}{AC} \]

Так же применим эти определения для угла \( B \):

• \(\sin B = \frac{AC}{AB}\)
• \(\cos B = \frac{BC}{AB}\)
• \(\tan B = \frac{AC}{BC}\)

Теперь разберем все три случая по очереди.

1) Случай (a): \( AC = 3, AB = 5 \)

Для нахождения стороны \( BC \) воспользуемся теоремой Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies 5^2 = 3^2 + BC^2 \] \[ 25 = 9 + BC^2 \implies BC^2 = 16 \implies BC = 4 \]

Теперь найдем тригонометрические функции:

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5} \)

• \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} \)

• \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3} \)

• \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} \)

• \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5} \)

• \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4} \)

2) Случай (б): \( AC = 10, BC = 8 \)

Сначала найдем \( AB \): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies AB^2 = 10^2 + 8^2 \] \[ AB^2 = 100 + 64 = 164 \implies AB = \sqrt{164} = 2\sqrt{41} \]

Теперь найдем тригонометрические функции:

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}} \)

• \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}} \)

• \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)

• \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}} \)

• \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}} \)

• \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \)

3) Случай (в): \( BC = 3 \sqrt{3}, AB = 6\sqrt{2} \)

Сначала найдем \( AC \): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \implies (6\sqrt{2})^2 = AC^2 + (3\sqrt{3})^2 \] \[ 72 = AC^2 + 27 \implies AC^2 = 72 - 27 = 45 \implies AC = 3\sqrt{5} \]

Теперь найдем тригонометрические функции:

• \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4} \)

• \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} \)

• \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \)

• \( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} \)

• \( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \)

• \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \)

Теперь у нас есть все значения для углов \( A \) и \( B \) для каждого случая.