В классе 28 учеников. Для участия в школьной эстафете необходимо выбрать 14 школьников. Сколькими способами классный руководитель может сделать свой выбор?
Для решения задачи мы воспользуемся формулой для вычисления числа сочетаний. Количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов обозначается как \( C(n, k) \) и вычисляется по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
В нашем случае \( n = 28 \) (общее количество учеников) и \( k = 14 \) (количество выбираемых учеников). Подставляем значения в формулу:
\[ C(28, 14) = \frac{28!}{14! \cdot (28 - 14)!} = \frac{28!}{14! \cdot 14!} \]
Теперь можем рассчитать \( C(28, 14) \). Для упрощения мы можем записать только нужные множители:
\[ C(28, 14) = \frac{28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21}{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7} \]
Теперь вычисляем это значение.
Сначала находим числитель: \[ 28 \times 27 \times 26 \times 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 = 12135653648 \]
Затем находим знаменатель: \[ 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 17297280 \]
И, наконец, делим числитель на знаменатель: \[ C(28, 14) = \frac{12135653648}{17297280} = 700 \]
Таким образом, классный руководитель может выбрать 14 учеников из 28 способами \( 40116600 \).
