В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 45°, BC = 4√6. Найдите сторону AC
Для решения задачи мы будем использовать теорему синусов и свойства треугольников.
Данные:
- Угол A = 60°
- Угол B = 45°
- Сторона BC = 4√6
Найдем угол C: Сумма углов в треугольнике всегда равна 180°. \[ Угол C = 180° - Угол A - Угол B = 180° - 60° - 45° = 75° \]
Теперь мы знаем все углы в треугольнике:
- Угол A = 60°
- Угол B = 45°
- Угол C = 75°
Используем теорему синусов: Теорема синусов гласит, что в любом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла постоянно: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Где:
- a - сторона BC (против угла A, т.е., 4√6)
- b - сторона AC (против угла B, которую мы ищем)
- c - сторона AB (против угла C)
Согласно теореме синусов, у нас есть: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \] Подставим известные значения: \[ \frac{4\sqrt{6}}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin 45°} \]
Вычислим синусы углов:
- \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
- \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Подставим значения: \[ \frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] Упростим левую сторону: \[ 4\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{2} \]
Теперь у нас есть: \[ 8\sqrt{2} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] Умножим обе стороны уравнения на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ AC = 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \cdot \frac{2}{2} = 8 \]
Ответ: Сторона AC равна 8.
Таким образом, сторона AC в треугольнике ABC равна 8.
