(x)={ 4x+13 (x−1) 2 −4 при x<−2, при x⩾−2. При каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком функции y = f ( x ) y=f(x) ровно три общие точки? m ∈ m∈
Рассмотрим заданную функцию \( y = f(x) \), которая определяется кусочно:
\[ f(x) = \begin{cases} 4x + 13 & \text{при } x < -2, \\ (x - 1)^{2} - 4 & \text{при } x \geq -2. \end{cases} \]
Шаг 1: Найдем график функции
Для \( x < -2 \):
Здесь функция \( f(x) = 4x + 13 \) является линейной. Мы можем узнать её значение в точке \( x = -2 \):
\[ f(-2) = 4(-2) + 13 = -8 + 13 = 5. \]
Это означает, что при \( x = -2 \) точка на графике будет \((-2, 5)\).
Для \( x \geq -2 \):
Функция \( f(x) = (x - 1)^2 - 4 \) является параболой, направленной вверх. Она имеет вершину в точке \( x = 1 \):
\[ f(1) = (1 - 1)^2 - 4 = 0 - 4 = -4. \]
Также проверим значение в \( x = -2 \):
\[ f(-2) = (-2 - 1)^2 - 4 = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5. \]
Таким образом, у нас есть две части графика:
- Линейная часть \( 4x + 13 \) для \( x < -2 \) (имеет точку пересечения \((-2, 5)\)).
- Параболическая часть \((x - 1)^2 - 4\) для \( x \geq -2 \) (имеет вершину \((1, -4)\) и также проходит через \((-2, 5)\)).
Шаг 2: Найдем количество пересечений с прямой \( y = m \)
Чтобы прямая \( y = m \) имела 3 точки пересечения с графиком \( f(x) \):
- Прямая должна пересекаться с одной из частей функции в 2 точки, а с другой частью — в 1 точке.
- Рассмотрим каждую часть отдельно.
2.1. Линейная часть \( y = 4x + 13 \):
Решим уравнение:
\[ m = 4x + 13 \Rightarrow 4x = m - 13 \Rightarrow x = \frac{m - 13}{4}. \]
Это дает одно решение. Для двух пересечений прямая должна пересекать параболу дважды.
2.2. Параболическая часть \( y = (x - 1)^2 - 4 \):
Решим уравнение:
\[ m = (x - 1)^2 - 4 \Rightarrow (x - 1)^2 = m + 4. \]
Чтобы у параболы было два решения, мы должны, чтобы \( m + 4 > 0 \):
\[ m > -4. \]
Шаг 3: Комбинирование условий
Для получения ровно 3 пересечений:
- \( m = -4 \)— одно пересечение с параболой и одно с линейной,
- \( m > -4 \)— должно рассматриваться как условие на пару решений от параболы.
Также нужно учесть, что прямая не должна пересекать параболу больше чем 2 раза, чтобы иметь только одно пересечение с линейной частью.
Шаг 4: Окончательный ответ
- Прямая \( y = m \) будет иметь ровно три пересечения с графиком функции \( f(x) \), когда:
- \( m \) находится в интервале \( (-4, 5) \), то есть: \[ -4 < m < 5. \]
Таким образом, значения \( m \) должны находиться в пределах от \(-4\) до \(5\), исключая эти границы.
