На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 10. Площадь треугольника ABC равна 78. Найдите площадь треугольника BCD.

Для решения задачи о нахождении площади треугольника \( BCD \), давайте подробно проанализируем и используем известные формулы.

1. Известные данные:

   • Треугольник \( ABC \).
   • Точка \( D \) на стороне \( AC \) с длинами отрезков: \( AD = 3 \) и \( DC = 10 \).
   • Площадь треугольника \( ABC = 78 \).

2. Сумма отрезков: Вычислим общую длину отрезка \( AC \): \[ AC = AD + DC = 3 + 10 = 13. \]

3. Отношение отрезков:
   Длина отрезка \( AD \) составляет \( \frac{AD}{AC} \) от длины \( AC \): \[ \frac{AD}{AC} = \frac{3}{13}. \] Длина отрезка \( DC \) составляет \( \frac{DC}{AC} \): \[ \frac{DC}{AC} = \frac{10}{13}. \]

4. Площадь треугольника \( BCD \): Площадь треугольника \( BCD \) можно найти через площадь треугольника \( ABC \) с использованием отношения оснований (длина отрезка \( AC \)): \[ \text{Площадь } BCD = \text{Площадь } ABC \times \frac{DC}{AC} = 78 \times \frac{10}{13}. \]

5. Вычисление: Умножим: \[ \text{Площадь } BCD = 78 \times \frac{10}{13} = 78 \times 0.7692 \approx 60. \]

Таким образом, площадь треугольника \( BCD \) составляет \( 60 \).

6. Ответ: Площадь треугольника \( BCD \) равна 60.