В равнобедренном треугольнике ABC , с основанием AC проведена биссектриса AD . Найдите градусную меру ∠ BAD , если ∠ ADC = 120 ∘ .

В равнобедренном треугольнике \( ABC \) с основанием \( AC \) биссектрису \( AD \) проведем из вершины \( A \). По условию, угол \( \angle ADC = 120^\circ \).

Поскольку треугольник \( ABC \) является равнобедренным, то углы при основании равны, то есть \( \angle ABC = \angle ACB \).

Обозначим угол \( \angle BAD \) как \( x \). Поскольку \( AD \) — биссектрисa, то \( \angle DAB = x \) и \( \angle DAC = x \) (так как \( AD \) делит угол \( \angle BAC \) пополам).

Теперь можем выразить углы треугольника \( ADC \): \[ \angle ADB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ. \] В треугольнике \( ABD \) сумма углов равна \( 180^\circ \): \[ \angle BAD + \angle ADB + \angle ABD = 180^\circ. \] Подставим известные углы: \[ x + 60^\circ + \angle ABD = 180^\circ. \] Решая уравнение для \( \angle ABD \): \[ \angle ABD = 180^\circ - x - 60^\circ = 120^\circ - x. \]

Поскольку \( ABC \) равнобедренный, то \( \angle ABD = \angle ACB \), и так как \( \angle ACB \) это также \( \angle ADC \), то \[ \angle ABD = 120^\circ - x. \]

Сравнивая оба выражения для \( \angle ABD \), получаем: \[ 120^\circ - x = x \implies 120^\circ = 2x \implies x = 60^\circ. \]

Таким образом, угол \( \angle BAD \) равен \( 60^\circ \).

Ответ: \[ \angle BAD = 60^\circ. \]