найти первообразную для функции f(x)=x⁴-7x⁶
Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = x^4 - 7x^6 \), нам нужно использовать правило интегрирования для степенных функций. Запишем пошаговое решение.
Шаг 1: Применение правила интегрирования
Правило интегрирования для степенной функции гласит, что:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \text{ где } n \neq -1 \]
где \( C \) — это произвольная константа интегрирования.
Шаг 2: Интегрирование каждого члена функции
Теперь применим это правило к каждому члену функции \( f(x) = x^4 - 7x^6 \):
Для первого члена \( x^4 \): \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5} \]
Для второго члена \( -7x^6 \) (не забудьте выносить коэффициенты за знак интеграла): \[ \int -7x^6 \, dx = -7 \int x^6 \, dx = -7 \cdot \frac{x^{6+1}}{6+1} = -7 \cdot \frac{x^7}{7} = -x^7 \]
Шаг 3: Сложение результатов
Теперь сложим результаты интегрирования:
\[ \int f(x) \, dx = \frac{x^5}{5} - x^7 + C \]
Шаг 4: Итоговое решение
Итак, первообразная функции \( f(x) = x^4 - 7x^6 \) равна:
\[ \int (x^4 - 7x^6) \, dx = \frac{x^5}{5} - x^7 + C \]
где \( C \) — произвольная константа интегрирования.
Заключение
Мы успешно нашли первообразную для данной функции, используя правило интегрирования для степенных функций. Если у вас остались вопросы или нужно объяснить что-то еще, дайте знать!
