Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = x^4 - 7x^6 ), нам нужно использовать правило интегрирования для степенных функций. Запишем пошаговое решение.
Шаг 1: Применение правила интегрирования
Правило интегрирования для степенной функции гласит, что:
[
\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \text{ где } n \neq -1
]
где ( C ) — это произвольная константа интегрирования.
Шаг 2: Интегрирование каждого члена функции
Теперь применим это правило к каждому члену функции ( f(x) = x^4 - 7x^6 ):
Для первого члена ( x^4 ):
[
\int x^4 , dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} = \frac{x^5}{5}
]
Для второго члена ( -7x^6 ) (не забудьте выносить коэффициенты за знак интеграла):
[
\int -7x^6 , dx = -7 \int x^6 , dx = -7 \cdot \frac{x^{6+1}}{6+1} = -7 \cdot \frac{x^7}{7} = -x^7
]
Шаг 3: Сложение результатов
Теперь сложим результаты интегрирования:
[
\int f(x) , dx = \frac{x^5}{5} - x^7 + C
]
Шаг 4: Итоговое решение
Итак, первообразная функции ( f(x) = x^4 - 7x^6 ) равна:
[
\int (x^4 - 7x^6) , dx = \frac{x^5}{5} - x^7 + C
]
где ( C ) — произвольная константа интегрирования.
Заключение
Мы успешно нашли первообразную для данной функции, используя правило интегрирования для степенных функций. Если у вас остались вопросы или нужно объяснить что-то еще, дайте знать!
