(x⁴-9x²) ×(-x²-3) >0

Для решения неравенства \((x^4 - 9x^2) \times (-x^2 - 3) > 0\) начнем с анализа каждой части этого выражения.

Шаг 1: Приведение неравенства к более простому виду

Первое выражение: \(x^4 - 9x^2\)

Это выражение можно факторизовать. Обратите внимание, что оно представляет собой разность квадратов: \[ x^4 - 9x^2 = (x^2)^2 - (3)^2 = (x^2 - 3)(x^2 + 3) \]

Шаг 2: Рассмотрим каждое произведение

Теперь мы можем переписать изначальное неравенство как: \[ ((x^2 - 3)(x^2 + 3)) \times (-x^2 - 3) > 0 \]

Шаг 3: Найдем нули каждого множителя

1. \(x^2 - 3 = 0\) — корни: \[ x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3} \]

2. \(x^2 + 3 = 0\) — у этого выражения нет действительных корней, так как \(x^2 + 3\) всегда положительно для всех действительных \(x\).

3. \(-x^2 - 3 = 0\) — также не имеет действительных корней, так как данное выражение всегда отрицательно для всех действительных \(x\).

Шаг 4: Определение знака произведения

Мы знаем, что:

• \(x^2 - 3\) меняет знак в точках \(x = -\sqrt{3}\) и \(x = \sqrt{3}\).
• \(x^2 + 3 > 0\) для всех \(x\).
• \(-x^2 - 3 < 0\) для всех \(x\).

Теперь у нас есть три фактора:

1. \(x^2 - 3\),
2. \(x^2 + 3\),
3. \(-x^2 - 3\).

Шаг 5: Анализ интервалов

Теперь определим знаки выражения на интервалах, созданных точками \(-\sqrt{3}\) и \(\sqrt{3}\):

• Интервал \((-∞, -\sqrt{3})\):

  • \(x^2 - 3 < 0\)
  • \(x^2 + 3 > 0\)
  • \(-x^2 - 3 < 0\)
  • Произведение: \(< 0\).

• Интервал \((- \sqrt{3}, \sqrt{3})\):

  • \(x^2 - 3 < 0\)
  • \(x^2 + 3 > 0\)
  • \(-x^2 - 3 < 0\)
  • Произведение: \(< 0\).

• Интервал \((\sqrt{3}, +∞)\):

  • \(x^2 - 3 > 0\)
  • \(x^2 + 3 > 0\)
  • \(-x^2 - 3 < 0\)
  • Произведение: \(< 0\).

Шаг 6: Итоговые результаты

Соберем результаты:

• Неравенство \(> 0\) не выполняется в ни одном из интервалов, так как произведение всегда отрицательно или равно нулю в точках \(x = \pm \sqrt{3}\).

Ответ:

Таким образом, неравенство \((x^4 - 9x^2) \times (-x^2 - 3) > 0\) не имеет решений в действительных числах.