Чтобы найти наименьшее значение выражения ( 7 = x^2 + y^2 + 6x + 44 + 13 ), давайте сначала упростим его. Упрощаем выражение:
[
x^2 + y^2 + 6x + 44 + 13 = x^2 + y^2 + 6x + 57.
]
Теперь найдем наименьшее значение ( x^2 + y^2 + 6x + 57 ).
Для этого рассмотрим часть ( x^2 + 6x ):
Это выражение можно переписать в квадрате:
[
x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9.
]
Следовательно, мы можем записать:
[
x^2 + 6x + 57 = (x + 3)^2 - 9 + 57 = (x + 3)^2 + 48.
]
Минимальное значение данного выражения будет, когда ((x + 3)^2) будет равно нулю, то есть:
[
(x + 3)^2 \geq 0.
]
Таким образом, наименьшее значение ( x^2 + y^2 + 6x + 57 ) будет 48, когда ( x = -3 ).
Далее нам необходимо учесть ограничения из системы:
- ( 3x + 2y \geq 6 )
- ( 12 + 4y - 4x - 29 = 40 )
Решим второе уравнение:
[
12 + 4y - 4x - 29 = 40 \implies 4y - 4x - 17 = 40 \implies 4y - 4x = 57 \implies y - x = \frac{57}{4} \implies y = x + \frac{57}{4}.
]
Теперь подставим это выражение для ( y ) в первое неравенство:
[
3x + 2\left(x + \frac{57}{4}\right) \geq 6.
]
Решим:
[
3x + 2x + \frac{57}{2} \geq 6 \implies 5x + \frac{57}{2} \geq 6 \implies 5x \geq 6 - \frac{57}{2} = 6 - 28.5 = -22.5 \implies x \geq -4.5.
]
Теперь проверим, возможно ли такое значение ( x = -3 ) (и соответствующее значение ( y )):
Если ( x = -3 ):
[
y = -3 + \frac{57}{4} = -3 + 14.25 = 11.25.
]
Теперь проверим, удовлетворяет ли эта пара значений неравенству ( 3x + 2y \geq 6 ):
[
3(-3) + 2(11.25) = -9 + 22.5 = 13.5 \geq 6,
]
что верно.
Таким образом, максимум ( y ) достигнут, минимальное значение выражения ( 7 = x^2 + y^2 + 6x + 57 ) достигается при ( x = -3 ) и ( y = 11.25 ), и равно 48.
