Найди, какое наименьшее значение принимает выражение 7= x2+y2+6x+44+13, если х и у удовлетворяют системе: 3х + 2У ≥6, 122+42-4x-29=40
Чтобы найти наименьшее значение выражения \( 7 = x^2 + y^2 + 6x + 44 + 13 \), давайте сначала упростим его. Упрощаем выражение:
\[ x^2 + y^2 + 6x + 44 + 13 = x^2 + y^2 + 6x + 57. \]
Теперь найдем наименьшее значение \( x^2 + y^2 + 6x + 57 \).
Для этого рассмотрим часть \( x^2 + 6x \): Это выражение можно переписать в квадрате:
\[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9. \]
Следовательно, мы можем записать:
\[ x^2 + 6x + 57 = (x + 3)^2 - 9 + 57 = (x + 3)^2 + 48. \]
Минимальное значение данного выражения будет, когда \((x + 3)^2\) будет равно нулю, то есть:
\[ (x + 3)^2 \geq 0. \]
Таким образом, наименьшее значение \( x^2 + y^2 + 6x + 57 \) будет 48, когда \( x = -3 \).
Далее нам необходимо учесть ограничения из системы:
- \( 3x + 2y \geq 6 \)
- \( 12 + 4y - 4x - 29 = 40 \)
Решим второе уравнение:
\[ 12 + 4y - 4x - 29 = 40 \implies 4y - 4x - 17 = 40 \implies 4y - 4x = 57 \implies y - x = \frac{57}{4} \implies y = x + \frac{57}{4}. \]
Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое неравенство:
\[ 3x + 2\left(x + \frac{57}{4}\right) \geq 6. \]
Решим:
\[ 3x + 2x + \frac{57}{2} \geq 6 \implies 5x + \frac{57}{2} \geq 6 \implies 5x \geq 6 - \frac{57}{2} = 6 - 28.5 = -22.5 \implies x \geq -4.5. \]
Теперь проверим, возможно ли такое значение \( x = -3 \) (и соответствующее значение \( y \)):
Если \( x = -3 \):
\[ y = -3 + \frac{57}{4} = -3 + 14.25 = 11.25. \]
Теперь проверим, удовлетворяет ли эта пара значений неравенству \( 3x + 2y \geq 6 \):
\[ 3(-3) + 2(11.25) = -9 + 22.5 = 13.5 \geq 6, \]
что верно.
Таким образом, максимум \( y \) достигнут, минимальное значение выражения \( 7 = x^2 + y^2 + 6x + 57 \) достигается при \( x = -3 \) и \( y = 11.25 \), и равно 48.
