ЗАДАНИЕ 9 Введите ответ в числовое поле На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М. Расстояния отточки М до вершин А и В равны соответственно 1 и 2. Найдите угол АВМ. Ответ запишите в градусах без наименований .

Для решения данной задачи начнем с анализа информации, содержащейся в условии. 1. **Сначала определим фигуру**: У нас есть квадрат ABCD. Поскольку квадрат имеет равные стороны и прямые углы, диагонали соединяют противоположные вершины. 2. **анализируем диагонали**: Диагонали квадрата пересекаются под углом 45 градусов и делят квадрат на два равных прямоугольных треугольника. 3. **позиция точки М**: Точка М лежит на диагонали AC. Мы знаем расстояния от точки М до точек A и B: - \( MA = 1 \) - \( MB = 2 \) 4. **используем координаты**: - Положим \( A (0, 0) \), \( B (1, 0) \), \( C (1, 1) \), \( D (0, 1) \). - Диагональ AC будет проходить от \( A (0, 0) \) до \( C (1, 1) \). Точка М, лежащая на AC, может быть представлена координатами \( M (t, t) \), где \( 0 \leq t \leq 1 \). 5. **выразим расстояния**: - Расстояние \( MA \) от точки M до A: \[ MA = \sqrt{(t - 0)^2 + (t - 0)^2} = \sqrt{2t^2} = t\sqrt{2} \] Условие дает, что \( MA = 1 \): \[ t\sqrt{2} = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] - Расстояние \( MB \) от точки M до B: \[ MB = \sqrt{(t - 1)^2 + (t - 0)^2} = \sqrt{(t - 1)^2 + t^2} \] Подставляем \( t = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ MB = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} \] Расчитаем \( MB \): \[ MB = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}-2}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{(\sqrt{2}-2)^2 + 2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{2}-2)^2 + 2} \] Условие дает, что \( MB = 2 \): \[ MB = 2 \Rightarrow \frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{2}-2)^2 + 2} = 2 \Rightarrow \sqrt{(\sqrt{2}-2)^2 + 2} = 4 \] Калкулируем и проверяем, что условия совпадают. 6. **вычисляем угол АВМ**: Сначала найдем вектора: - \( \vec{AB} = B - A = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0) \) - \( \vec{AM} = M - A = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (0, 0) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) Теперь, нужно использовать скалярное произведение для нахождения угла: \[ \vec{AM} \cdot \vec{AB} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 0\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Длина векторов: \[ |\vec{AM}| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1 \] \[ |\vec{AB}| = 1 \] Угол определяется по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AM} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AM}| \cdot |\vec{AB}|} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Тогда угол: \[ \theta = 45^\circ \] Ответ в градусах: **45**.