Решите неравенство х²>4

Для решения неравенства \( x^2 > 4 \) мы будем следовать пошаговому процессу. ### Шаг 1: Преобразуем неравенство Неравенство \( x^2 > 4 \) можно переписать в другой форме. Для этого перенесем 4 в левую часть неравенства: \[ x^2 - 4 > 0 \] ### Шаг 2: Факторизуем выражение Теперь мы можем факторизовать выражение \( x^2 - 4 \). Заметим, что это разность квадратов: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Теперь у нас есть неравенство: \[ (x - 2)(x + 2) > 0 \] ### Шаг 3: Находим корни уравнения Для решения неравенства сначала найдем корни уравнения, приравняв его к нулю: \[ (x - 2)(x + 2) = 0 \] Это дает нам два корня: \[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] \[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \] ### Шаг 4: Определяем интервалы Теперь, зная корни \( x = -2 \) и \( x = 2 \), мы можем разбить числовую прямую на три интервала: 1. \( (-\infty, -2) \) 2. \( (-2, 2) \) 3. \( (2, +\infty) \) ### Шаг 5: Проверяем знаки в каждом интервале Теперь проверим знак произведения \( (x - 2)(x + 2) \) на каждом из интервалов. 1. **Интервал \( (-\infty, -2) \)**: - Пусть \( x = -3 \): \[ (-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 \quad (> 0) \] (Продукт положителен) 2. **Интервал \( (-2, 2) \)**: - Пусть \( x = 0 \): \[ (0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 \quad (< 0) \] (Продукт отрицателен) 3. **Интервал \( (2, +\infty) \)**: - Пусть \( x = 3 \): \[ (3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 \quad (> 0) \] (Продукт положителен) ### Шаг 6: Записываем ответ Таким образом, неравенство \( (x - 2)(x + 2) > 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (2, +\infty) \). **Окончательный ответ**: \[ x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \] Это значит, что все значения \( x \), которые меньше -2 или больше 2, удовлетворяют неравенству \( x^2 > 4 \).