решите неравенство х²>4
Для решения неравенства \( x^2 > 4 \) мы будем следовать пошаговому процессу.
Шаг 1: Преобразуем неравенство
Неравенство \( x^2 > 4 \) можно переписать в другой форме. Для этого перенесем 4 в левую часть неравенства:
\[ x^2 - 4 > 0 \]
Шаг 2: Факторизуем выражение
Теперь мы можем факторизовать выражение \( x^2 - 4 \). Заметим, что это разность квадратов:
\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \]
Теперь у нас есть неравенство:
\[ (x - 2)(x + 2) > 0 \]
Шаг 3: Находим корни уравнения
Для решения неравенства сначала найдем корни уравнения, приравняв его к нулю:
\[ (x - 2)(x + 2) = 0 \]
Это дает нам два корня:
\[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] \[ x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \]
Шаг 4: Определяем интервалы
Теперь, зная корни \( x = -2 \) и \( x = 2 \), мы можем разбить числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Шаг 5: Проверяем знаки в каждом интервале
Теперь проверим знак произведения \( (x - 2)(x + 2) \) на каждом из интервалов.
Интервал \( (-\infty, -2) \):
- Пусть \( x = -3 \): \[ (-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 \quad (> 0) \] (Продукт положителен)
Интервал \( (-2, 2) \):
- Пусть \( x = 0 \): \[ (0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 \quad (< 0) \] (Продукт отрицателен)
Интервал \( (2, +\infty) \):
- Пусть \( x = 3 \): \[ (3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 \quad (> 0) \] (Продукт положителен)
Шаг 6: Записываем ответ
Таким образом, неравенство \( (x - 2)(x + 2) > 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (2, +\infty) \).
Окончательный ответ:
\[ x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \]
Это значит, что все значения \( x \), которые меньше -2 или больше 2, удовлетворяют неравенству \( x^2 > 4 \).
