Обозначим равнобедренный треугольник как ( ABC ), где ( AB = AC ) — боковые стороны, а ( BC ) — основание. Дано, что ( BC = 4\sqrt{3} , \text{см} ) и ( AB = AC = 4 , \text{см} ).
Для нахождения углов треугольника применим теорему косинусов, которая звучит следующим образом:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
Где:
- ( c ) — сторона напротив угла ( C ),
- ( a ) и ( b ) — другие две стороны треугольника.
В нашем случае:
- ( c = BC = 4\sqrt{3} ),
- ( a = AB = 4 ),
- ( b = AC = 4 ).
Подставим данные в формулу:
[
(4\sqrt{3})^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(C)
]
Посчитаем:
[
48 = 16 + 16 - 32 \cdot \cos(C)
]
Упрощаем уравнение:
[
48 = 32 - 32 \cdot \cos(C)
]
Переносим 32 в левую часть:
[
48 - 32 = -32 \cdot \cos(C)
]
[
16 = -32 \cdot \cos(C)
]
Делим обе стороны на -32:
[
\cos(C) = -\frac{1}{2}
]
Таким образом, угол ( C ) равен:
[
C = 120^\circ
]
Так как треугольник равнобедренный, углы ( A ) и ( B ) равны:
[
A + B + C = 180^\circ
]
[
A + A + 120^\circ = 180^\circ
]
[
2A = 60^\circ
]
[
A = 30^\circ
]
Следовательно, углы треугольника равны:
[
A = 30^\circ, \quad B = 30^\circ, \quad C = 120^\circ.
]
