решить примеры: 1. cos x/3 = √3/2 2. 2sin2x-1=0 3. tg x/3 -√3 =0 4. 3ctg x/(4 ) +√3 =0 5. sin (π/2 – α)=0 6. cos (3π/2 + α)=-1 7. tg (π+ α)+ √3=0 8. ctg (2π- α)-√3/3 =0 9. sin (π+…

Давайте решим все приведенные примеры шаг за шагом. Мы будем использовать основные знания тригонометрии и свойства тригонометрических функций.

1. \(\cos \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Чтобы решить это уравнение, вспомним, что \(\cos\) равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) при следующих углах: \[ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \] где \(k \in \mathbb{Z}\).

Решим для \(x\): \[ x = 3\left(\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right) = \frac{\pi}{2} + 6k\pi \] \[ x = 3\left(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right) = -\frac{\pi}{2} + 6k\pi \]

2. \(2\sin 2x - 1 = 0\)

Решим уравнение: \[ 2\sin 2x = 1 \implies \sin 2x = \frac{1}{2} \] Значения, при которых \(\sin\) равен \(\frac{1}{2}\): \[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] Решаем для \(x\): \[ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

3. \(\tan \frac{x}{3} - \sqrt{3} = 0\)

Значит, \(\tan \frac{x}{3} = \sqrt{3}\). Это верно при углах: \[ \frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \] Решение для \(x\): \[ x = \pi + 3k\pi = (1 + 3k)\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

4. \(\frac{3}{\cot \frac{x}{4}} + \sqrt{3} = 0\)

Перепишем уравнение: \[ \frac{3}{\cot \frac{x}{4}} = -\sqrt{3} \] \[ \cot \frac{x}{4} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \] Это равно \(\tan \frac{x}{4} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\). Значения для \[ \tan \frac{x}{4} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies \frac{x}{4} = -\frac{\pi}{6} + k\pi \] Решение для \(x\): \[ x = -\frac{2\pi}{3} + 4k\pi \]

5. \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 0\)

Используем показатель для \(\sin\): \[ \frac{\pi}{2} - \alpha = n\pi \] Решаем для \(\alpha\): \[ \alpha = \frac{\pi}{2} - n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}) \]

6. \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -1\)

\(\cos\) равен \(-1\) при: \[ \frac{3\pi}{2} + \alpha = (2n + 1)\pi \] Решение для \(\alpha\): \[ \alpha = (2n + 1)\pi - \frac{3\pi}{2} \quad (n \in \mathbb{Z}) \]

7. \(\tan(\pi + \alpha) + \sqrt{3} = 0\)

Решим: \[ \tan(\pi + \alpha) = -\sqrt{3} \] Это справедливо для: \[ \alpha = -\frac{\pi}{3} + k\pi \]

8. \(\cot(2\pi - \alpha) - \frac{\sqrt{3}}{3} = 0\)

Найдём \(\alpha\): \[ \cot(2\pi - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} \rightarrow \tan(2\pi - \alpha) = \frac{3}{\sqrt{3}} \] \[ 2\pi - \alpha = \frac{\pi}{6} + n\pi \] Решаем: \[ \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} - n\pi \quad \alpha = \frac{11\pi}{6} - n\pi \]

9. \(\sin(\pi + \alpha) - 1 = 0\)

Это выполняется, когда: \[ \sin(\pi + \alpha) = 1 \] Мы знаем, что \(\sin\) равен 1 только при: \[ \pi + \alpha = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \] Решим: \[ \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi \]

10. \(\cos\frac{x}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Это выполняется при: \[ \frac{x}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \frac{x}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \] Решение: \[ x = 3\pi + 8k\pi \quad \text{и} \quad x = 5\pi + 8k\pi \]

11. \(\tan\frac{x}{3} + 1 = 0\)

Это означает: \[ \tan\frac{x}{3} = -1 \] Значения: \[ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + k\pi \] Решение: \[ x = -\frac{3\pi}{4} + 3k\pi \]

12. \(\cot 2x + \sqrt{3} = 0\)

Переписываем: \[ \cot 2x = -\sqrt{3} \Rightarrow \tan 2x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] При этом: \[ 2x = -\frac{\pi}{6} + n\pi \] Решая: \[ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2} \]

13. \(2\sin 5x - \sqrt{3} = 0\)

Решим: \[ 2\sin 5x = \sqrt{3} \Rightarrow \sin 5x = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Значения: \[ 5x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 5x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \] Решая: \[ x = \frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} \]

14. \(\sin 5x = -1\)

Это выполняется, когда: \[ 5x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] Решаем: \[ x = \frac{3\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5} \]

15. \(\tan(\frac{\pi}{2} - 3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Это: \[ \cot 3x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \tan 3x = \sqrt{2} \] При этом: \[ 3x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] Решаем: \[ x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3} \]

Теперь у вас есть решения всех уравнений с пояснениями. Если будут вопросы или понадобится более глубокое объяснение по какому-то из пунктов, дайте знать!