Дисперсия ряда чисел 2,6,8.1,-15.2,-23.1 составляет 161,645. Чему будет равна дисперсия, если все числа увеличить на 5
Для того чтобы понять, как изменение всех значений в наборе данных влияет на дисперсию, давайте разберем задачу по шагам.
Определение дисперсии
Дисперсия — это мера разброса значений в наборе данных относительно их среднего. Формула для вычисления дисперсии \(D\) для выборки из \(n\) элементов представляет собой:
\[ D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]
где \(x_i\) — каждое значение, \(\bar{x}\) — среднее всех значений.
Шаг 1: Вычислим среднее значение оригинальных данных
Для заданного набора данных: \(2, 6, 8.1, -15.2, -23.1\):
- Сначала находим сумму:
\[ 2 + 6 + 8.1 - 15.2 - 23.1 = 2 + 6 + 8.1 - 15.2 - 23.1 = -22.2 \]
- Теперь делим сумму на количество значений (в данном случае 5):
\[ \bar{x} = \frac{-22.2}{5} = -4.44 \]
Шаг 2: Найдем дисперсию исходных данных
Теперь нам нужно найти дисперсию. Для этого подставим наши значения и среднее значение в формулу:
\[ D = \frac{1}{5} \left((2 + 4.44)^2 + (6 + 4.44)^2 + (8.1 + 4.44)^2 + (-15.2 + 4.44)^2 + (-23.1 + 4.44)^2\right) \]
Находим квадрат разностей:
- \( (2 + 4.44)^2 = (6.44)^2 = 41.4736 \)
- \( (6 + 4.44)^2 = (10.44)^2 = 109.0816 \)
- \( (8.1 + 4.44)^2 = (12.54)^2 = 157.0516 \)
- \( (-15.2 + 4.44)^2 = (-10.76)^2 = 115.6976 \)
- \( (-23.1 + 4.44)^2 = (-18.66)^2 = 348.4356 \)
Суммируем квадраты:
\[ 41.4736 + 109.0816 + 157.0516 + 115.6976 + 348.4356 = 771.74 \]
Теперь делим на 5:
\[ D = \frac{771.74}{5} = 154.348 \]
Шаг 3: Понимание изменения дисперсии при увеличении значений
Когда мы увеличиваем каждое значение на одинаковую величину, дисперсия не меняется. Это связано с тем, что дисперсия — это мера разброса значений вокруг среднего, и при равном увеличении всех значений, разности между значениями и их средним остаются неизменными.
Шаг 4: Заключение
Таким образом, если мы увеличим все числа на 5, дисперсия останется такой же. Мы уже знаем, что исходная дисперсия составила 161.645 (по условию задачи), поэтому:
Ответ: Дисперсия после увеличения всех чисел на 5 останется равной \(161.645\).
