Чтобы решить задачу, начнем с анализа предоставленной информации.
Шаг 1: Найдем центр и радиус окружности
Окружность задана уравнением:
[
(x + 8)^2 + (y - 6)^2 = 9
]
Это уравнение окружности в канонической форме, где:
- Центр окружности ( C(-8, 6) )
- Радиус окружности ( r = \sqrt{9} = 3 )
Шаг 2: Найдем точку пересечения прямой с осью ординат
Прямая задана уравнением:
[
y = 2x + 3
]
Чтобы найти точку пересечения этой прямой с осью ординат, необходимо установить значение ( x = 0 ) (так как на оси ординат ( x ) всегда равен 0).
Подставляем ( x = 0 ) в уравнение прямой:
[
y = 2(0) + 3 = 3
]
Таким образом, точка пересечения прямой с осью ординат — это точка ( P(0, 3) ).
Шаг 3: Определим вектор переноса
Теперь нам нужно перенести центр окружности ( C(-8, 6) ) в точку ( P(0, 3) ). Для этого найдем вектор переноса.
Вектор переноса ( \vec{V} ) можно найти как разность соответствующих координат:
[
\vec{V} = P - C = (0 - (-8), 3 - 6) = (8, -3)
]
Шаг 4: Составаим формулу переноса
Формула для параллельного переноса точки ( (x, y) ) с использованием вектора ( (a, b) ):
[
(x', y') = (x + a, y + b)
]
В нашем случае ( a = 8 ) и ( b = -3 ).
Поэтому, после переноса, новая координата точки окружности будет:
[
(x', y') = (x + 8, y - 3)
]
Шаг 5: Применим перенос к уравнению окружности
Чтобы найти уравнение новой окружности, мы должны подставить новое ( x' ) и ( y' ) в уравнение окружности. Исходное уравнение:
[
(x + 8)^2 + (y - 6)^2 = 9
]
С учетом переноса ( x = x' - 8 ) и ( y = y' + 3 ):
[
((x' - 8) + 8)^2 + ((y' + 3) - 6)^2 = 9
]
Упростим это:
[
(x')^2 + (y' - 3)^2 = 9
]
Итог
Формула параллельного переноса, которая показывает, как центр окружности перемещается от точки ( (-8, 6) ) к точке ( (0, 3) ), в результате чего уравнение окружности преобразуется в:
[
(x')^2 + (y' - 3)^2 = 9
]
Теперь вы знаете, как составить формулу параллельного переноса и изменить уравнение окружности, находя новые координаты центра. Если у вас есть вопросы или хотите подробнее изучить какие-то пункты, дайте знать!
