на сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСD отметили соответственно точки F и Е так, что AF:FB=1:4, BE: EC= 1:3. Выразите вектор EF через вектора AB=a и AD=b

Чтобы найти вектор \( \vec{EF} \) через векторы \( \vec{AB} = \vec{a} \) и \( \vec{AD} = \vec{b} \), будем шаг за шагом использовать свойства параллелограмма и метод деления отрезков.

Шаг 1: Определение точек F и E

1. Определим вектор \( \vec{F} \):

   • У нас есть отношение \( AF:FB = 1:4 \).
   • Это означает, что \( F \) делит отрезок \( AB \) в отношении \( 1:4 \).
   • Мы можем найти координаты точки \( F \) по формуле: \[ \vec{F} = \frac{4}{5} \vec{A} + \frac{1}{5} \vec{B} \]
   • Поскольку \( \vec{B} = \vec{A} + \vec{a} \), подставим: \[ \vec{F} = \frac{4}{5} \vec{A} + \frac{1}{5} (\vec{A} + \vec{a}) = \frac{4}{5} \vec{A} + \frac{1}{5} \vec{A} + \frac{1}{5} \vec{a} = \vec{A} + \frac{1}{5} \vec{a} \]

2. Определим вектор \( \vec{E} \):

   • У нас есть отношение \( BE:EC = 1:3 \).
   • Это означает, что \( E \) делит отрезок \( BC \) в отношении \( 1:3 \).
   • Выразим точку \( E \) аналогично: \[ \vec{E} = \frac{3}{4} \vec{B} + \frac{1}{4} \vec{C} \]
   • Поскольку \( \vec{C} = \vec{B} + \vec{b} \), подставим: \[ \vec{E} = \frac{3}{4} \vec{B} + \frac{1}{4} (\vec{B} + \vec{b}) = \frac{3}{4} \vec{B} + \frac{1}{4} \vec{B} + \frac{1}{4} \vec{b} = \vec{B} + \frac{1}{4} \vec{b} \]
   • Подставляя значение \( \vec{B} \): \[ \vec{E} = \vec{A} + \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \]

Шаг 2: Найдем вектор \( \vec{EF} \)

Теперь, чтобы выразить \( \vec{EF} \), воспользуемся разностью векторов: \[ \vec{EF} = \vec{F} - \vec{E} \]

Подставляем наши выражения из шагов 1: \[ \vec{EF} = \left( \vec{A} + \frac{1}{5} \vec{a} \right) - \left( \vec{A} + \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \right) \] Упростим: \[ \vec{EF} = \vec{A} + \frac{1}{5} \vec{a} - \vec{A} - \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} \] \[ \vec{EF} = \left( \frac{1}{5} - 1 \right) \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} \] \[ \vec{EF} = -\frac{4}{5} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} \]

Шаг 3: Итоговое выражение

Итак, выражение для вектора \( \vec{EF} \) через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \): \[ \vec{EF} = -\frac{4}{5} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} \]

Это и есть искомое выражение для вектора \( \vec{EF} \).