Чтобы решить задачу о том, как заполнив диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, равной 2, изменится энергия плоского конденсатора, начнем с основ физики подключения конденсатора.
Шаг 1: Понимание энергии конденсатора
Энергия ( U ) конденсатора без диэлектрика определяется формулой:
[
U = \frac{1}{2} C V^2
]
где:
- ( C ) — ёмкость конденсатора,
- ( V ) — напряжение на конденсаторе.
Шаг 2: Влияние диэлектрика на ёмкость
Когда в конденсатор вставляется диэлектрик, его ёмкость увеличивается на величину, равную диэлектрической проницаемости ( \varepsilon_r ):
[
C' = \varepsilon_r C
]
где ( C' ) — ёмкость конденсатора с диэлектриком.
В нашем случае:
[
\varepsilon_r = 2 \quad \Rightarrow \quad C' = 2C
]
Шаг 3: Изменение энергии после добавления диэлектрика
Поскольку источник питания отключен, заряды на конденсаторе остаются постоянными. Это означает, что:
[
Q = C V = C' V'
]
где ( Q ) — заряд, ( V ) — напряжение до добавления диэлектрика, и ( V' ) — напряжение после. Учитывая, что ёмкость увеличивается в 2 раза, мы можем выразить новое напряжение как:
[
V' = \frac{Q}{C'} = \frac{Q}{2C} = \frac{V}{2}
]
Шаг 4: Найдем новое значение энергии
Теперь мы можем найти новую энергию ( U' ) с помощью формулы:
[
U' = \frac{1}{2} C' V'^2
]
Подставим ( C' = 2C ) и ( V' = \frac{V}{2} ):
[
U' = \frac{1}{2} (2C) \left(\frac{V}{2}\right)^2
]
[
U' = \frac{1}{2} (2C) \left(\frac{V^2}{4}\right)
]
[
U' = \frac{1}{2} \cdot 2C \cdot \frac{V^2}{4}
]
[
U' = \frac{C V^2}{4}
]
Шаг 5: Связь новой энергии с исходной
Исходная энергия ( U ) была равна:
[
U = \frac{1}{2} C V^2
]
Таким образом, новая энергия выражается через старую как:
[
U' = \frac{1}{2} U = \frac{20 \text{ мкДж}}{2} = 10 \text{ мкДж}
]
Ответ
Энергия конденсатора после заполнения диэлектриком равна 10 мкДж.
