Симметричный игральный кубик бросают дважды. Известно, что сумма выпавших очков больше 7. Найдите вероятность события «ни при одном из бросков не выпадало меньше 4 очков».
Для решения данной задачи начнем с определения всех возможных исходов бросков кубика и того, какими будут условия для нахождения искомой вероятности.
Общее количество исходов при двух бросках кубика: Игральный кубик имеет 6 граней, что означает, что возможные исходы при одном броске — это числа от 1 до 6. При двух бросках общее количество исходов будет: \[ 6 \times 6 = 36 \]
Событие «сумма выпавших очков больше 7»: Теперь определим количество благоприятных исходов, когда сумма результатов двух бросков больше 7. Мы можем перечислить все возможные пары (x, y) (где x — результат первого броска, а y — результат второго):
- Если x = 1: y может быть 7 (это невозможно, т.к. максимум 6).
- Если x = 2: y может быть 6 (сумма 8).
- Если x = 3: y может быть 5 или 6 (суммы 8 и 9).
- Если x = 4: y может быть 4, 5 или 6 (суммы 8, 9 и 10).
- Если x = 5: y может быть 3, 4, 5 или 6 (суммы 8, 9, 10, 11).
- Если x = 6: y может быть 2, 3, 4, 5 или 6 (суммы 8, 9, 10, 11 и 12).
Перечислим все пары, сумма которых больше 7:
- при x=2: (2, 6) — сумма 8
- при x=3: (3, 5), (3, 6) — суммы 8, 9
- при x=4: (4, 4), (4, 5), (4, 6) — суммы 8, 9, 10
- при x=5: (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) — суммы 8, 9, 10, 11
- при x=6: (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) — суммы 8, 9, 10, 11, 12
Теперь посчитаем количество таких благоприятных исходов:
- от x=2: 1
- от x=3: 2
- от x=4: 3
- от x=5: 4
- от x=6: 5
Итак, общее количество комбинаций, где сумма больше 7: \[ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \]
- Событие «ни при одном из бросков не выпадало меньше 4 очков»: Это означает, что результаты бросков могут быть только 4, 5 или 6. Теперь, определим, сколько таких исходов удовлетворяют условию уже найденного события (сумма > 7).
Исходы величин больше или равных 4:
- при x=4: y может быть 4 (сумма 8), 5 (сумма 9), 6 (сумма 10) — всего 3
- при x=5: y может быть 4 (сумма 9), 5 (сумма 10), 6 (сумма 11) — всего 3
- при x=6: y может быть 4 (сумма 10), 5 (сумма 11), 6 (сумма 12) — всего 3
Общее количество исходов, которые удовлетворяют обоим условиям (сумма больше 7 и оба броска хотя бы 4): \[ 3 (x=4) + 3 (x=5) + 3 (x=6) = 9 \]
- Расчет вероятности: Теперь мы можем найти вероятность события «ни при одном из бросков не выпадало меньше 4 очков» при условии, что сумма выпавших очков больше 7: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \]
Итак, вероятность того, что «ни при одном из бросков не выпадало меньше 4 очков», если сумма выпавших очков больше 7, равна: \[ \frac{3}{5} \]
Таким образом, получаем ответ: вероятность этого события составляет \( 0.6 \) или \( 60\% \).
