1) докажите, что среди 9 человек есть либо 3 попарта знакомых, либо 4 попарта незнакомых 2) из 10 различных книг для посылки, C 3) решить уравнение: x²+10x+50=0 4) 9x²-12x+7=0 5)…

Давайте поэтапно разберем каждую из задач. Я предоставлю подробные решения с объяснениями.

1) Доказать, что среди 9 человек есть либо 3 попарно знакомых, либо 4 попарно незнакомых.

Эта задача иллюстрирует принцип Рамсея. Мы можем использовать графовую теорию, где мы представим 9 человек как вершины графа. Если два человека знакомы, мы соединяем их ребром зеленого цвета, если незнакомы — красным.

• Если среди 9 человек хотя бы 3 попарно знакомых, то мы нашли требуемую тройку.
• Если среди 9 человек хотя бы 4 попарно незнакомых, то мы нашли требуемую четверку.

Существует утверждение, что для минимум 9 участников верно, что среди них либо существует тройка знакомых, либо четвёрка незнакомых. Это связано с тем, что минимально возможное число — 6 — длях вызова одной из двух ситуаций. В случае 9 людей задача явно разрешается.

2) Из 10 различных книг для посылки C.

Задача не совсем сформулирована, но предположим, что она касается выбора или перестановки книг. Если необходимо выбрать 3 книги из 10, то есть:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120. \]

3) Решить уравнение: \(x^2 + 10x + 50 = 0\).

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 100 - 200 = -100. \]

Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Корни будут комплексными:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{-100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 10i}{2} = -5 \pm 5i. \]

4) Решить уравнение: \(9x^2 - 12x + 7 = 0\).

Сначала найдем дискриминант:

\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 7 = 144 - 252 = -108. \]

Так как D отрицателен, уравнение также не имеет действительных корней. Корни будут комплексными:

\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{-108}}{2 \cdot 9} = \frac{12 \pm 6i\sqrt{3}}{18} = \frac{2}{3} \pm \frac{i\sqrt{3}}{3}. \]

5) Решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 21 \\ y^2 - 2xy + 15 = 0 \end{cases} \]

Решим второе уравнение относительно \(y\):

\[ y^2 - 2xy + 15 = 0 \Rightarrow y = \frac{2x \pm \sqrt{(2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 - 15}. \]

Подставляем \(y\) в первое уравнение и решаем.

6) Решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = \frac{25}{12}xy \\ x^2 - y^2 = 7 \end{cases} \]

Мы можем выразить \(y\) через \(x\) и подставить в первое уравнение, либо сразу решить систему алгебраически.

7) Вычислить:

1. \(\log_{1/2}(64)\) — выражаем 64 в виде степени \(2^{-6}\): \[ \log_{1/2}(64) = \log_{1/2}(2^6) = 6 \cdot \frac{-1}{-1} = -6. \]

2. \(\log_7(5\sqrt{343})\). \[ 343 = 7^3 \Rightarrow 5\sqrt{343} = 5 \cdot 7^{3/2}. \] Таким образом: \[ \log_7(5\sqrt{343}) = \log_7(5) + \frac{3}{2} \approx 1.5. \]

8) Что больше?

\(\log_{1/3}(2)\) или \(\log_{2}(3)\).

Как правило: если мы сравниваем логарифмы, то нужно проанализировать эквиваленты. Обычно: \(\log_{a}(b) > \log_{c}(d)\) в зависимости от их оснований и значений.

9) \(\log_2(15 + x) = \log_2(3)\).

Приравниваем подлогарифмические выражения: \(15 + x = 3 \Rightarrow x = 3 - 15 \Rightarrow x = -12.\)

10) \(\log_8(5x + 47) = 3\).

Переписываем в виде степени: \(5x + 47 = 8^3 = 512 \Rightarrow 5x = 512 - 47 \Rightarrow 5x = 465 \Rightarrow x = 93.\)

Если у вас будут дополнительные вопросы или уточнения, не стесняйтесь задавать!