Давайте поэтапно разберем каждую из задач. Я предоставлю подробные решения с объяснениями.
1) Доказать, что среди 9 человек есть либо 3 попарно знакомых, либо 4 попарно незнакомых.
Эта задача иллюстрирует принцип Рамсея. Мы можем использовать графовую теорию, где мы представим 9 человек как вершины графа. Если два человека знакомы, мы соединяем их ребром зеленого цвета, если незнакомы — красным.
- Если среди 9 человек хотя бы 3 попарно знакомых, то мы нашли требуемую тройку.
- Если среди 9 человек хотя бы 4 попарно незнакомых, то мы нашли требуемую четверку.
Существует утверждение, что для минимум 9 участников верно, что среди них либо существует тройка знакомых, либо четвёрка незнакомых. Это связано с тем, что минимально возможное число — 6 — длях вызова одной из двух ситуаций. В случае 9 людей задача явно разрешается.
2) Из 10 различных книг для посылки C.
Задача не совсем сформулирована, но предположим, что она касается выбора или перестановки книг. Если необходимо выбрать 3 книги из 10, то есть:
[
C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120.
]
3) Решить уравнение: (x^2 + 10x + 50 = 0).
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 50 = 100 - 200 = -100.
]
Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Корни будут комплексными:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{-100}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 10i}{2} = -5 \pm 5i.
]
4) Решить уравнение: (9x^2 - 12x + 7 = 0).
Сначала найдем дискриминант:
[
D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 7 = 144 - 252 = -108.
]
Так как D отрицателен, уравнение также не имеет действительных корней. Корни будут комплексными:
[
x = \frac{12 \pm \sqrt{-108}}{2 \cdot 9} = \frac{12 \pm 6i\sqrt{3}}{18} = \frac{2}{3} \pm \frac{i\sqrt{3}}{3}.
]
5) Решить систему уравнений:
[
\begin{cases}
x^2 - xy + y^2 = 21 \
y^2 - 2xy + 15 = 0
\end{cases}
]
Решим второе уравнение относительно (y):
[
y^2 - 2xy + 15 = 0 \Rightarrow y = \frac{2x \pm \sqrt{(2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2} = x \pm \sqrt{x^2 - 15}.
]
Подставляем (y) в первое уравнение и решаем.
6) Решить систему уравнений:
[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = \frac{25}{12}xy \
x^2 - y^2 = 7
\end{cases}
]
Мы можем выразить (y) через (x) и подставить в первое уравнение, либо сразу решить систему алгебраически.
7) Вычислить:
(\log_{1/2}(64)) — выражаем 64 в виде степени (2^{-6}):
[
\log_{1/2}(64) = \log_{1/2}(2^6) = 6 \cdot \frac{-1}{-1} = -6.
]
(\log_7(5\sqrt{343})).
[
343 = 7^3 \Rightarrow 5\sqrt{343} = 5 \cdot 7^{3/2}.
]
Таким образом:
[
\log_7(5\sqrt{343}) = \log_7(5) + \frac{3}{2} \approx 1.5.
]
8) Что больше?
(\log_{1/3}(2)) или (\log_{2}(3)).
Как правило: если мы сравниваем логарифмы, то нужно проанализировать эквиваленты. Обычно:
(\log_{a}(b) > \log_{c}(d)) в зависимости от их оснований и значений.
9) (\log_2(15 + x) = \log_2(3)).
Приравниваем подлогарифмические выражения:
(15 + x = 3 \Rightarrow x = 3 - 15 \Rightarrow x = -12.)
10) (\log_8(5x + 47) = 3).
Переписываем в виде степени:
(5x + 47 = 8^3 = 512 \Rightarrow 5x = 512 - 47 \Rightarrow 5x = 465 \Rightarrow x = 93.)
Если у вас будут дополнительные вопросы или уточнения, не стесняйтесь задавать!
