А3. Найдите гипотенузу и острые углы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 20 см и 21 см.

Для решения задачи найдем гипотенузу и острые углы прямоугольного треугольника с катетами 20 см и 21 см. Рассмотрим решение шаг за шагом.

1. Находим гипотенузу

Гипотенуза \(c\) прямоугольного треугольника может быть найдена по теореме Пифагора, которая утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Где:

• \(a\) и \(b\) — длины катетов,
• \(c\) — длина гипотенузы.

В нашем случае:

• \(a = 20 \, \text{см}\),
• \(b = 21 \, \text{см}\).

Подставляем значения:

\[ c^2 = 20^2 + 21^2 \]

Теперь вычислим каждое из значений:

\[ 20^2 = 400 \] \[ 21^2 = 441 \]

Теперь подставим результаты в уравнение:

\[ c^2 = 400 + 441 = 841 \]

Теперь найдем \(c\) (гипотенузу) путем извлечения квадратного корня:

\[ c = \sqrt{841} = 29 \, \text{см} \]

2. Находим острые углы

Для нахождения острых углов, обозначим их как \(α\) и \(β\), где:

• \(α\) — угол против катета \(a = 20 \, \text{см}\),
• \(β\) — угол против катета \(b = 21 \, \text{см}\).

Используем функции тригонометрии. Мы можем воспользоваться тангенсом для нахождения углов:

\[ \tan(α) = \frac{a}{b} = \frac{20}{21} \]

Теперь найдем угол \(α\):

\[ α = \tan^{-1}\left(\frac{20}{21}\right) \]

С помощью калькулятора можно приблизительно вычислить:

\[ α \approx 43.6^\circ \]

Теперь найдем угол \(β\):

\[ \tan(β) = \frac{b}{a} = \frac{21}{20} \] \[ β = \tan^{-1}\left(\frac{21}{20}\right) \]

Снова используя калькулятор для вычисления:

\[ β \approx 46.4^\circ \]

3. Подводим итог

Таким образом, мы получили:

• Длина гипотенузы \(c \approx 29 \, \text{см}\).
• Острые углы:
  • \(α \approx 43.6^\circ\)
  • \(β \approx 46.4^\circ\)

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!