Проведено 800 испытаний Бернулли. 0,4 составила вероятность успешного испытания (для каждого случая). Оцени вероятность того, что в проведённых испытаниях разница между числом…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Мы рассматриваем 800 испытаний Бернулли, где вероятность успешного исхода (обозначим её как \( p \)) равна 0,4. Мы знаем, что в каждом испытании может произойти успех (с вероятностью \( p \)) или неудача (с вероятностью \( 1-p \)).

Шаг 1: Определение параметров

1. Обозначим \( n = 800 \) — общее количество испытаний.
2. Вероятность успеха \( p = 0,4 \).
3. Среднее число успехов можно определить как: \[ \mu = n \cdot p = 800 \cdot 0,4 = 320 \]

Шаг 2: Стандартное отклонение

Чтобы оценить вероятность, нам также нужно вычислить стандартное отклонение. Для распределения Бернулли стандартное отклонение \( \sigma \) вычисляется по формуле: \[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{800 \cdot 0,4 \cdot 0,6} \]

Теперь подставим значения: \[ \sigma = \sqrt{800 \cdot 0,4 \cdot 0,6} = \sqrt{800 \cdot 0,24} = \sqrt{192} \approx 13,86 \]

Шаг 3: Нормальное распределение

При большом количестве испытаний (в нашем случае 800), распределение числа успехов можно аппроксимировать нормальным распределением с параметрами \( \mu \) и \( \sigma \). Теперь мы можем использовать это распределение для нахождения вероятности.

Шаг 4: Разница между числом успехов и средним значением

Нам нужно найти вероятность того, что разница между числом успехов \( X \) и средним числом успехов \( \mu \) составляет менее 40. Мы можем записать это неравенство как: \[ |X - 320| < 40 \] Что эквивалентно: \[ 280 < X < 360 \]

Шаг 5: Стандартизация и вычисление вероятности

Теперь переведем \( X \) в стандартные нормальные величины \( Z \): \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Для верхней границы \( 360 \): \[ Z_{360} = \frac{360 - 320}{13.86} \approx \frac{40}{13.86} \approx 2,89 \] Для нижней границы \( 280 \): \[ Z_{280} = \frac{280 - 320}{13.86} \approx \frac{-40}{13.86} \approx -2,89 \]

Шаг 6: Использование таблиц нормального распределения

Теперь мы можем использовать таблицы стандартного нормального распределения или калькуляторы для нахождения вероятностей: \[ P(Z < 2.89) - P(Z < -2.89) \]

Согласно таблицам нормального распределения:

• \( P(Z < 2.89) \approx 0,998 \)
• \( P(Z < -2.89) \approx 0,002 \)

Таким образом, искомая вероятность: \[ P(280 < X < 360) = P(Z < 2.89) - P(Z < -2.89) \approx 0,998 - 0,002 = 0,996 \]

Заключение

Вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет менее 40, составляет примерно 0,996 или 99,6%.