Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Мы рассматриваем 800 испытаний Бернулли, где вероятность успешного исхода (обозначим её как ( p )) равна 0,4. Мы знаем, что в каждом испытании может произойти успех (с вероятностью ( p )) или неудача (с вероятностью ( 1-p )).
Шаг 1: Определение параметров
- Обозначим ( n = 800 ) — общее количество испытаний.
- Вероятность успеха ( p = 0,4 ).
- Среднее число успехов можно определить как:
[
\mu = n \cdot p = 800 \cdot 0,4 = 320
]
Шаг 2: Стандартное отклонение
Чтобы оценить вероятность, нам также нужно вычислить стандартное отклонение. Для распределения Бернулли стандартное отклонение ( \sigma ) вычисляется по формуле:
[
\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{800 \cdot 0,4 \cdot 0,6}
]
Теперь подставим значения:
[
\sigma = \sqrt{800 \cdot 0,4 \cdot 0,6} = \sqrt{800 \cdot 0,24} = \sqrt{192} \approx 13,86
]
Шаг 3: Нормальное распределение
При большом количестве испытаний (в нашем случае 800), распределение числа успехов можно аппроксимировать нормальным распределением с параметрами ( \mu ) и ( \sigma ). Теперь мы можем использовать это распределение для нахождения вероятности.
Шаг 4: Разница между числом успехов и средним значением
Нам нужно найти вероятность того, что разница между числом успехов ( X ) и средним числом успехов ( \mu ) составляет менее 40. Мы можем записать это неравенство как:
[
|X - 320| < 40
]
Что эквивалентно:
[
280 < X < 360
]
Шаг 5: Стандартизация и вычисление вероятности
Теперь переведем ( X ) в стандартные нормальные величины ( Z ):
[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
]
Для верхней границы ( 360 ):
[
Z_{360} = \frac{360 - 320}{13.86} \approx \frac{40}{13.86} \approx 2,89
]
Для нижней границы ( 280 ):
[
Z_{280} = \frac{280 - 320}{13.86} \approx \frac{-40}{13.86} \approx -2,89
]
Шаг 6: Использование таблиц нормального распределения
Теперь мы можем использовать таблицы стандартного нормального распределения или калькуляторы для нахождения вероятностей:
[
P(Z < 2.89) - P(Z < -2.89)
]
Согласно таблицам нормального распределения:
- ( P(Z < 2.89) \approx 0,998 )
- ( P(Z < -2.89) \approx 0,002 )
Таким образом, искомая вероятность:
[
P(280 < X < 360) = P(Z < 2.89) - P(Z < -2.89) \approx 0,998 - 0,002 = 0,996
]
Заключение
Вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет менее 40, составляет примерно 0,996 или 99,6%.
