Вычислите: под буквой В

Чтобы решить задание под буквой (в), где нужно вычислить интеграл \(\int x^3 \cos x \, dx\), необходимо использовать метод интегрирования по частям. Этот метод полезен, когда мы имеем дело с произведением функций, где одна функция легко интегрируется, а другая – дифференцируется. Метод интегрирования по частям формулируется так: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Выберем: - \( u = x^3 \) (эта часть будет упрощаться при дифференцировании) - \( dv = \cos x \, dx \) (эта часть легко интегрируется) Теперь найдем \( du \) и \( v \): - Дифференцируем \( u \): \( du = 3x^2 \, dx \) - Интегрируем \( dv \): \( v = \int \cos x \, dx = \sin x \) Подставляем в формулу интегрирования по частям: \[ \int x^3 \cos x \, dx = x^3 \sin x - \int \sin x \cdot 3x^2 \, dx \] Теперь нужно решить интеграл \(\int 3x^2 \sin x \, dx\). Для этого снова применим интегрирование по частям. Повторим процесс: Выберем: - \( u = 3x^2 \) - \( dv = \sin x \, dx \) Найдем \( du \) и \( v \): - Дифференцируем \( u \): \( du = 6x \, dx \) - Интегрируем \( dv \): \( v = \int \sin x \, dx = -\cos x \) Подставим в формулу: \[ \int 3x^2 \sin x \, dx = -3x^2 \cos x - \int (-\cos x) \cdot 6x \, dx \] Упрощаем выражение: \[ = -3x^2 \cos x + 6 \int x \cos x \, dx \] Теперь найдём \(\int x \cos x \, dx\) снова методом интегрирования по частям: Выберем: - \( u = x \) - \( dv = \cos x \, dx \) Найдем \( du \) и \( v \): - Дифференцируем \( u \): \( du = dx \) - Интегрируем \( dv \): \( v = \sin x \) Подставим в формулу: \[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx \] Упрощаем, интегрируя оставшуюся часть: \[ = x \sin x + \cos x \] Теперь вернемся к нашему выражению: \[ \int 3x^2 \sin x \, dx = -3x^2 \cos x + 6 (x \sin x + \cos x) \] Развернем и упрощаем: \[ = -3x^2 \cos x + 6x \sin x + 6 \cos x \] Теперь вернемся к первоначальному интегралу: \[ \int x^3 \cos x \, dx = x^3 \sin x - \left( -3x^2 \cos x + 6x \sin x + 6 \cos x \right) \] \[ = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6 \cos x + C \] Где \( C \) — постоянная интегрирования. Таким образом, окончательный ответ: \[ \int x^3 \cos x \, dx = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6 \cos x + C \]