Вычислите: под буквой В

Чтобы решить задание под буквой (в), где нужно вычислить интеграл \(\int x^3 \cos x \, dx\), необходимо использовать метод интегрирования по частям. Этот метод полезен, когда мы имеем дело с произведением функций, где одна функция легко интегрируется, а другая – дифференцируется.

Метод интегрирования по частям формулируется так:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

Выберем:

• \( u = x^3 \) (эта часть будет упрощаться при дифференцировании)
• \( dv = \cos x \, dx \) (эта часть легко интегрируется)

Теперь найдем \( du \) и \( v \):

• Дифференцируем \( u \): \( du = 3x^2 \, dx \)
• Интегрируем \( dv \): \( v = \int \cos x \, dx = \sin x \)

Подставляем в формулу интегрирования по частям:

\[ \int x^3 \cos x \, dx = x^3 \sin x - \int \sin x \cdot 3x^2 \, dx \]

Теперь нужно решить интеграл \(\int 3x^2 \sin x \, dx\). Для этого снова применим интегрирование по частям. Повторим процесс:

Выберем:

• \( u = 3x^2 \)
• \( dv = \sin x \, dx \)

Найдем \( du \) и \( v \):

• Дифференцируем \( u \): \( du = 6x \, dx \)
• Интегрируем \( dv \): \( v = \int \sin x \, dx = -\cos x \)

Подставим в формулу:

\[ \int 3x^2 \sin x \, dx = -3x^2 \cos x - \int (-\cos x) \cdot 6x \, dx \]

Упрощаем выражение:

\[ = -3x^2 \cos x + 6 \int x \cos x \, dx \]

Теперь найдём \(\int x \cos x \, dx\) снова методом интегрирования по частям:

Выберем:

• \( u = x \)
• \( dv = \cos x \, dx \)

Найдем \( du \) и \( v \):

• Дифференцируем \( u \): \( du = dx \)
• Интегрируем \( dv \): \( v = \sin x \)

Подставим в формулу:

\[ \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx \]

Упрощаем, интегрируя оставшуюся часть:

\[ = x \sin x + \cos x \]

Теперь вернемся к нашему выражению:

\[ \int 3x^2 \sin x \, dx = -3x^2 \cos x + 6 (x \sin x + \cos x) \]

Развернем и упрощаем:

\[ = -3x^2 \cos x + 6x \sin x + 6 \cos x \]

Теперь вернемся к первоначальному интегралу:

\[ \int x^3 \cos x \, dx = x^3 \sin x - \left( -3x^2 \cos x + 6x \sin x + 6 \cos x \right) \]

\[ = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6 \cos x + C \]

Где \( C \) — постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \int x^3 \cos x \, dx = x^3 \sin x + 3x^2 \cos x - 6x \sin x - 6 \cos x + C \]