Ответить

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти вероятность элементарного события, в котором успех наступил во втором, девятом и десятом испытаниях среди серии из 15 испытаний.

Дано:

• Вероятность успеха в каждом испытании: \( p \).
• Вероятность неудачи: \( q \).

Рассмотрим конкретное элементарное событие: успех в 2-м, 9-м и 10-м испытаниях. Тогда в других 12 испытаниях (которые не указаны) должна наступить неудача.

Формула для вероятности успеха в \( k \) заранее заданных испытаниях среди \( n \) испытаний (причем порядок важен) — это произведение вероятностей успеха и неудачи: \[ P = p^k \times q^{n-k} \] где \( k \) — количество испытаний с успехом, \( n \) — общее количество испытаний.

В нашем случае:

• \( k = 3 \) (второе, девятое и десятое испытания успешны),
• \( n = 15 \) (всего 15 испытаний),
• Успехи на 2, 9, 10 позициях означают 3 успеха и 12 неудач.

Тогда вероятность события: \[ P = p^3 \times q^{12} \]

Теперь подставим заданные варианты:

1. \( 3! \cdot p^3 \cdot q^{10} \) — не подходит, так как должно быть \( q^{12} \).
2. \( \binom{3}{3} \cdot p^3 \cdot q^{12} \) — верная формулировка, так как \(\binom{3}{3} = 1\).
3. \( 12q \cdot p \) — не подходит.
4. \( p^3 \cdot q^{12} \) — это верная формула вероятности.

Таким образом, правильный ответ: четвертый вариант — \( p^3 \cdot q^{12} \).