Решить

Для данной задачи нам нужно определить вероятность того, что при четырех бросках игральной кости трижды выпадут 3 очка.

Шаг 1: Понять задачу

Каждый бросок имеет 6 возможных исходов, и мы заинтересованы в том, чтобы число "3" появилось ровно 3 раза.

Шаг 2: Используем биномиальное распределение

В данном случае вероятность применения биномиального распределения будет уместна. Формула биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:

• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае \( n = 4 \)),
• \( k \) — количество успешных исходов, которые нас интересуют (в нашем случае \( k = 3 \)),
• \( p \) — вероятность успеха за одно испытание (в нашем случае \( p = \frac{1}{6} \), так как на шестигранной кости только одна грань с тройкой).

Шаг 3: Применение формулы

1. Найдем комбинации: \[ C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4 \]

2. Вероятность для "успеха": \[ p^3 = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} \]

3. Вероятность для "неуспеха": \[ (1-p)^{n-k} = \left(\frac{5}{6}\right)^{1} = \frac{5}{6} \]

Подставляем все в формулу: \[ P(X=3) = 4 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324} \]

Ответ соответствует варианту 4.

Таким образом, вероятность того, что при четырех бросках игральной кости 3 выпадет ровно три раза, равна \(\frac{5}{324}\).