Катер шёл против течения реки 160 160 км, а затем вернулся обратно, причём обратный путь занял на 6 6 часов меньше. Собственная скорость катера равна 13 13 км/ч. Найди скорость…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим переменные:

   • Пусть скорость течения реки равна \( v \) (км/ч).
   • Собственная скорость катера равна \( 13 \) км/ч.

2. Скорости при движении против течения и по течению:

   • Когда катер движется против течения, его скорость будет равна: \[ V_{\text{против}} = 13 - v \]
   • Когда катер движется по течению, его скорость будет равна: \[ V_{\text{по}} = 13 + v \]

3. Время в пути:

   • Сначала находим время, потраченное на путь против течения: \[ t_{\text{против}} = \frac{d}{V_{\text{против}}} = \frac{160}{13 - v} \]
   • Затем время, потраченное на путь по течению: \[ t_{\text{по}} = \frac{d}{V_{\text{по}}} = \frac{160}{13 + v} \]

4. Согласно условию задачи, время на путь по течению на 6 часов меньше, чем на путь против течения: \[ t_{\text{против}} - t_{\text{по}} = 6 \] Подставим выражения для времени: \[ \frac{160}{13 - v} - \frac{160}{13 + v} = 6 \]

5. Упрощаем уравнение: Умножим обе стороны на \( (13 - v)(13 + v) \) (обычный метод перейдёт на общий знаменатель): \[ 160(13 + v) - 160(13 - v) = 6(13 - v)(13 + v) \] Раскроем скобки: \[ 160 \cdot 13 + 160v - 160 \cdot 13 + 160v = 6(169 - v^2) \] Это упрощается до: \[ 320v = 1014 - 6v^2 \]

6. Соберём все члены в одном уравнении: \[ 6v^2 + 320v - 1014 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 320^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1014) \] Считаем дискриминант: \[ D = 102400 + 24336 = 126736 \] Теперь находим корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-320 \pm \sqrt{126736}}{12} \] Найдём \(\sqrt{126736} \approx 356\): \[ v_1 = \frac{-320 + 356}{12} \approx \frac{36}{12} = 3 \text{ км/ч} \] \[ v_2 = \frac{-320 - 356}{12} \quad \text{(не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)} \]

8. Ответ: Спид течения реки составляет \( 3 \) км/ч.