В этой задаче нам дан прямоугольный треугольник ( MNK ) с прямым углом ( \angle N = 90^\circ ) и углом ( \angle K = 60^\circ ). Мы также знаем, что сумма катетов ( MK + NK = 11,7 ) мм, и нам нужно найти длину гипотенузы ( MK ).
Давайте начнем с обозначений:
- ( MK ) — один из катетов (обозначим его как ( a )).
- ( NK ) — другой катет (обозначим его как ( b )).
- Гипотенуза ( MN ) — обозначим её как ( c ).
Из условия знаем, что:
[
a + b = 11,7
]
Также в прямоугольном треугольнике с углом ( K = 60^\circ ) применяются соотношения между сторонами. Мы можем использовать тригонометрические функции:
- ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ) — это отношение противолежащего катета ( b ) к гипотенузе ( c ).
- ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ) — это отношение прилежащего катета ( a ) к гипотенузе ( c ).
Запишем эти соотношения:
[
b = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
a = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2}
]
Теперь подставим ( a ) и ( b ) в уравнение ( a + b = 11,7 ):
[
c \cdot \frac{1}{2} + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 11,7
]
Соберем последние дроби в одну:
[
c \left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \right) = 11,7
]
Теперь выразим ( c ):
[
c = \frac{11,7 \cdot 2}{1 + \sqrt{3}}
]
Для удобства расчётов, сначала примерно оценим ( \sqrt{3} \approx 1,732 ):
[
1 + \sqrt{3} \approx 2,732
]
Теперь подставляем это значение:
[
c \approx \frac{11,7 \cdot 2}{2,732} \approx \frac{23,4}{2,732} \approx 8,59
]
Теперь мы получили приблизительное значение гипотенузы ( MK ):
[
MK \approx 8,59 \text{ мм}
]
Итак, численное значение гипотенузы ( MK ) равно примерно ( 8,59 ) мм.
