В прямоугольном треугольнике M N K MNK ∠ N = 90 ° ∠N=90° , ∠ K = 6 0 ∘ ∠K=60 ∘ . Чему равно численное значение гипотенузы M K MK , если M K + N K = 11 , 7 MK+NK=11,7 мм?
В этой задаче нам дан прямоугольный треугольник \( MNK \) с прямым углом \( \angle N = 90^\circ \) и углом \( \angle K = 60^\circ \). Мы также знаем, что сумма катетов \( MK + NK = 11,7 \) мм, и нам нужно найти длину гипотенузы \( MK \).
Давайте начнем с обозначений:
- \( MK \) — один из катетов (обозначим его как \( a \)).
- \( NK \) — другой катет (обозначим его как \( b \)).
- Гипотенуза \( MN \) — обозначим её как \( c \).
Из условия знаем, что:
\[ a + b = 11,7 \]
Также в прямоугольном треугольнике с углом \( K = 60^\circ \) применяются соотношения между сторонами. Мы можем использовать тригонометрические функции:
- \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) — это отношение противолежащего катета \( b \) к гипотенузе \( c \).
- \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \) — это отношение прилежащего катета \( a \) к гипотенузе \( c \).
Запишем эти соотношения:
\[ b = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ a = c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \]
Теперь подставим \( a \) и \( b \) в уравнение \( a + b = 11,7 \):
\[ c \cdot \frac{1}{2} + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 11,7 \]
Соберем последние дроби в одну:
\[ c \left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \right) = 11,7 \]
Теперь выразим \( c \):
\[ c = \frac{11,7 \cdot 2}{1 + \sqrt{3}} \]
Для удобства расчётов, сначала примерно оценим \( \sqrt{3} \approx 1,732 \):
\[ 1 + \sqrt{3} \approx 2,732 \]
Теперь подставляем это значение:
\[ c \approx \frac{11,7 \cdot 2}{2,732} \approx \frac{23,4}{2,732} \approx 8,59 \]
Теперь мы получили приблизительное значение гипотенузы \( MK \):
\[ MK \approx 8,59 \text{ мм} \]
Итак, численное значение гипотенузы \( MK \) равно примерно \( 8,59 \) мм.
