Если к удвоенному целому числу прибавить его половину, то получится число, меньшее 107. Если из удвоенного этого же числа вычесть его половину, то получится число, большее 62.…

Обозначим искомое целое число как \( x \).

Составим два неравенства на основе задачи:

1. \( 2x + \frac{x}{2} < 107 \)
2. \( 2x - \frac{x}{2} > 62 \)

Упростим оба неравенства.

Для первого неравенства: \[ 2x + \frac{x}{2} = 2x + 0.5x = \frac{4x + x}{2} = \frac{5x}{2} < 107 \] Умножим обе стороны на 2 (чтобы избавиться от деления): \[ 5x < 214 \] Разделим обе стороны на 5: \[ x < 42.8 \] Поскольку \( x \) - целое число, получаем: \[ x \leq 42 \]

Теперь решим второе неравенство: \[ 2x - \frac{x}{2} = 2x - 0.5x = \frac{4x - x}{2} = \frac{3x}{2} > 62 \] Умножим обе стороны на 2: \[ 3x > 124 \] Разделим обе стороны на 3: \[ x > \frac{124}{3} \approx 41.33 \] Поскольку \( x \) - целое число, получаем: \[ x \geq 42 \]

Теперь у нас есть два неравенства:

1. \( x \leq 42 \)
2. \( x \geq 42 \)

Таким образом, единственный подходящий вариант: \[ x = 42 \]

Проверим, подходит ли это значение под условия задачи:

1. \( 2 \cdot 42 + \frac{42}{2} = 84 + 21 = 105 < 107 \) (выполняется)
2. \( 2 \cdot 42 - \frac{42}{2} = 84 - 21 = 63 > 62 \) (выполняется)

Ответ: целое число — \( 42 \).