Скажи ответ
Давайте разберём каждое уравнение по очереди.
a) \(\frac{x - x^2}{5-x} = -\frac{20}{5-x}\)
Упростим уравнение:
Поскольку обе стороны уравнения имеют одинаковый знаменатель \((5-x)\), мы можем их отбросить: \[ x - x^2 = -20 \]
Переносим все на одну сторону: \[ x^2 - x - 20 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение: \[ (x - 5)(x + 4) = 0 \]
Находим корни: \[ x = 5 \quad \text{или} \quad x = -4 \]
Теперь проверим значения на допустимость:
- \(x = 5\) делает знаменатель равным нулю (\(5 - x = 0\)), поэтому это корень является недопустимым.
- Значит, допустимый корень: \(x = -4\).
b) \(\frac{x^2 - 5}{x - 1} = \frac{7x + 10}{9}\)
Переносим все слагаемые на одну сторону:
Сначала избавимся от дроби, перенесём все члены налево: \[ 9(x^2 - 5) = (7x + 10)(x - 1) \]
Раскрываем скобки: \[ 9x^2 - 45 = 7x^2 - 7x + 10x - 10 \] \[ 9x^2 - 45 = 7x^2 + 3x - 10 \]
Переносим всё влево: \[ 9x^2 - 7x^2 - 3x - 35 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 3x - 35 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289 \]
Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 17}{4} \]
\[ x_1 = \frac{20}{4} = 5, \quad x_2 = \frac{-14}{4} = -3.5 \]
Проверим допустимость: Оба корня не делают знаменатели равными нулю.
c) \(\frac{2x - 1}{x + 7} = \frac{3x + 4}{x - 1}\)
Переносим все слагаемые на одну сторону:
Перемножим крест-накрест: \[ (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7) \]
Раскрываем скобки: \[ 2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28 \] \[ 2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28 \]
Переносим всё влево: \[ 2x^2 - 3x + 1 - 3x^2 - 25x - 28 = 0 \] \[ -x^2 - 28x - 27 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 28x + 27 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 784 - 108 = 676 \]
Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-28 \pm 26}{2} \]
\[ x_1 = \frac{-2}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-54}{2} = -27 \]
Проверим допустимость: Оба корня не делают знаменатели равными нулю.
Ответы:
- a) \(x = -4\)
- b) \(x = 5, -3.5\)
- c) \(x = -1, -27\)
