В данной задаче мы рассмотрим геометрическую прогрессию и найдем формулу для вычисления суммы первых ( n ) членов этой прогрессии.
Определение геометрической прогрессии:
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член (начиная с второго) получается умножением предыдущего члена на фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его как ( q )). То есть, если первый член прогрессии обозначается как ( b_1 ), то:
- ( b_2 = b_1 \cdot q )
- ( b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2 )
- ( b_4 = b_3 \cdot q = b_1 \cdot q^3 )
И так далее. Общая формула для ( n )-го члена геометрической прогрессии может быть записана как:
[
b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
]
Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии:
Теперь найдем сумму первых ( n ) членов геометрической прогрессии, обозначим эту сумму как ( S_n ). Формула для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:
[
S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_n
]
Подставляя выражение для членов прогрессии, имеем:
[
S_n = b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 + \ldots + b_1 \cdot q^{n-1}
]
Заметим, что мы можем вынести ( b_1 ) за скобки:
[
S_n = b_1 (1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1})
]
Сумма в скобках представляет собой сумму геометрической прогрессии с ( n ) элементами, первый член равный 1 и знаменатель ( q ). Существует формула для такой суммы, которую можно использовать:
[
1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1} = \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{(при } q \neq 1\text{)}
]
Подставляя это выражение в формулу для суммы, получаем:
[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
Итоговые формулы:
Таким образом, формула для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии с первым членом ( b_1 ) и знаменателем ( q ) (где ( q \neq 1 )):
[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
Пример:
Допустим, нам дана геометрическая прогрессия, где ( b_1 = 2 ) и ( q = 3 ). Найдем сумму первых 4 членов:
[
S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot \frac{-80}{-2} = 2 \cdot 40 = 80
]
Таким образом, сумма первых 4 членов данной геометрической прогрессии равна 80.
