Пусть (bn) - геометрическая прогрессия, - знаменатель этой прогрессии, q ≠ 1. Выберите формулы, по которым можно вычислить сумму Ѕт первых и членов геометрической прогрессии.

В данной задаче мы рассмотрим геометрическую прогрессию и найдем формулу для вычисления суммы первых \( n \) членов этой прогрессии.

Определение геометрической прогрессии:

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член (начиная с второго) получается умножением предыдущего члена на фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его как \( q \)). То есть, если первый член прогрессии обозначается как \( b_1 \), то:

• \( b_2 = b_1 \cdot q \)
• \( b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2 \)
• \( b_4 = b_3 \cdot q = b_1 \cdot q^3 \)

И так далее. Общая формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии может быть записана как:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии:

Теперь найдем сумму первых \( n \) членов геометрической прогрессии, обозначим эту сумму как \( S_n \). Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[ S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_n \]

Подставляя выражение для членов прогрессии, имеем:

\[ S_n = b_1 + b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 + \ldots + b_1 \cdot q^{n-1} \]

Заметим, что мы можем вынести \( b_1 \) за скобки:

\[ S_n = b_1 (1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1}) \]

Сумма в скобках представляет собой сумму геометрической прогрессии с \( n \) элементами, первый член равный 1 и знаменатель \( q \). Существует формула для такой суммы, которую можно использовать:

\[ 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1} = \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{(при } q \neq 1\text{)} \]

Подставляя это выражение в формулу для суммы, получаем:

\[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

Итоговые формулы:

Таким образом, формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \) (где \( q \neq 1 \)):

\[ S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

Пример:

Допустим, нам дана геометрическая прогрессия, где \( b_1 = 2 \) и \( q = 3 \). Найдем сумму первых 4 членов:

\[ S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2} = 2 \cdot \frac{-80}{-2} = 2 \cdot 40 = 80 \]

Таким образом, сумма первых 4 членов данной геометрической прогрессии равна 80.