Чтобы найти значение производной функции ( y = 14\sqrt{2x - 3} ) в точке ( x_0 = 26 ), мы будем следовать следующим шагам:
Шаг 1: Найдем производную функции
Функцию можно переписать так:
[
y = 14(2x - 3)^{1/2}
]
Мы применим правило дифференцирования для функции вида ( k \cdot u^n ), где ( k ) - константа, ( u ) - функция от ( x ), а ( n ) - степень. В нашем случае:
[
k = 14, \quad u = 2x - 3, \quad n = \frac{1}{2}
]
Сначала найдём производную ( u ):
[
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x - 3) = 2
]
Теперь, используя правило производной произведения и цепного правила, находим производную ( y ):
[
\frac{dy}{dx} = k \cdot n \cdot u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx}
]
Подставим значения:
[
\frac{dy}{dx} = 14 \cdot \frac{1}{2} \cdot (2x - 3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2
]
Упрощаем:
[
\frac{dy}{dx} = 14 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2x - 3)^{-\frac{1}{2}} = 14(2x - 3)^{-\frac{1}{2}}
]
Теперь производная функции равна:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{14}{\sqrt{2x - 3}}
]
Шаг 2: Найдем значение производной в точке ( x_0 = 26 )
Подставим ( x = 26 ) в производную:
[
\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=26} = \frac{14}{\sqrt{2(26) - 3}}
]
Сначала вычислим выражение под корнем:
[
2(26) - 3 = 52 - 3 = 49
]
Теперь вычислим корень:
[
\sqrt{49} = 7
]
Теперь окончательно подставим значение:
[
\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=26} = \frac{14}{7} = 2
]
Ответ
Таким образом, значение производной функции ( y = 14\sqrt{2x - 3} ) в точке ( x_0 = 26 ) равно ( 2 ).
