Вычислите значение производной функции y=14√(2x-3) в точке х0=26

Чтобы найти значение производной функции \( y = 14\sqrt{2x - 3} \) в точке \( x_0 = 26 \), мы будем следовать следующим шагам:

Шаг 1: Найдем производную функции

Функцию можно переписать так:

\[ y = 14(2x - 3)^{1/2} \]

Мы применим правило дифференцирования для функции вида \( k \cdot u^n \), где \( k \) - константа, \( u \) - функция от \( x \), а \( n \) - степень. В нашем случае:

\[ k = 14, \quad u = 2x - 3, \quad n = \frac{1}{2} \]

Сначала найдём производную \( u \):

\[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x - 3) = 2 \]

Теперь, используя правило производной произведения и цепного правила, находим производную \( y \):

\[ \frac{dy}{dx} = k \cdot n \cdot u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx} \]

Подставим значения:

\[ \frac{dy}{dx} = 14 \cdot \frac{1}{2} \cdot (2x - 3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \]

Упрощаем:

\[ \frac{dy}{dx} = 14 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (2x - 3)^{-\frac{1}{2}} = 14(2x - 3)^{-\frac{1}{2}} \]

Теперь производная функции равна:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{14}{\sqrt{2x - 3}} \]

Шаг 2: Найдем значение производной в точке \( x_0 = 26 \)

Подставим \( x = 26 \) в производную:

\[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=26} = \frac{14}{\sqrt{2(26) - 3}} \]

Сначала вычислим выражение под корнем:

\[ 2(26) - 3 = 52 - 3 = 49 \]

Теперь вычислим корень:

\[ \sqrt{49} = 7 \]

Теперь окончательно подставим значение:

\[ \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=26} = \frac{14}{7} = 2 \]

Ответ

Таким образом, значение производной функции \( y = 14\sqrt{2x - 3} \) в точке \( x_0 = 26 \) равно \( 2 \).