2*cos^2*x*sin*x+sin^2*x=1 решить уравнение

Давайте решим уравнение:

\[ 2 \cos^2 x \sin x + \sin^2 x = 1. \]

Шаг 1: Перепишем уравнение

Мы можем попробовать выразить все функции в терминах одной тригонометрической функции. В данном случае, лучше всего использовать \( \sin x \) и \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \). Однако, в данном уравнении лучше оставить всё как есть и подбирать корни.

Шаг 2: Попробуем привести уравнение к более простому виду

Выразим \( \sin^2 x \): \[ \sin^2 x = 1 - 2 \cos^2 x \sin x. \]

Шаг 3: Подставим значение \( y = \sin x \)

Чтобы упростить работу с уравнением, давайте заменим \( \sin x \) на \( y \): \[ 2(1 - y^2)y + y^2 = 1. \]

Шаг 4: Упрощаем уравнение

Перепишем уравнение: \[ 2y - 2y^3 + y^2 = 1. \] Перегруппируем: \[ -2y^3 + y^2 + 2y - 1 = 0. \]

Шаг 5: Умножим на -1

Умножим все уравнение на -1 для удобства: \[ 2y^3 - y^2 - 2y + 1 = 0. \]

Шаг 6: Поиск корней уравнения

Мы можем попробовать найти корни методом подбора. Проверим некоторые значения:

• \( y = 1 \): \[ 2(1)^3 - (1)^2 - 2(1) + 1 = 2 - 1 - 2 + 1 = 0. \] \( y = 1 \) – это корень.

Шаг 7: Деление полинома

Мы знаем, что \( y - 1 \) является делителем: \[ (2y^3 - y^2 - 2y + 1) \div (y - 1). \]

Используя деление, находим: \[ 2y^3 - y^2 - 2y + 1 = (y - 1)(2y^2 + y - 1). \]

Шаг 8: Решаем квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение: \[ 2y^2 + y - 1 = 0. \]

Шаг 9: Находим корни с помощью дискриминанта

Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9. \] Корни: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{4} = \frac{2}{4}, \frac{-4}{4}. \] Корни: \[ y = \frac{1}{2}, \quad y = -1. \]

Шаг 10: Обратная замена

Теперь, у нас есть три значения \( y \):

1. \( y = \sin x = 1 \)
2. \( y = \sin x = \frac{1}{2} \)
3. \( y = \sin x = -1 \)

Шаг 11: Находим значения \( x \)

1. \( \sin x = 1 \)
   \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

2. \( \sin x = \frac{1}{2} \)
   \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

3. \( \sin x = -1 \)
   \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Итог

Итак, все решения уравнения: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]

Если будут дополнительные вопросы — обращайтесь!