Апофема правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а радиус окружности, вписанный в еë основание равен корень 3. Вычислите полную поверхность пирамиды.
Для вычисления полной поверхности правильной треугольной пирамиды с заданными параметрами, выполним следующие шаги:
Шаг 1: Понятие о правильной треугольной пирамиде
Правильная треугольная пирамида — это пирамида, основание которой является равносторонним треугольником. Апофема — это высота боковой грани, проведённая из её вершины до основания.
Шаг 2: Данные задачи
- Апофема (h) = 6 см
- Радиус вписанной окружности (r) = √3 см
Шаг 3: Нахождение стороны основания
Радиус вписанной окружности (r) правильного треугольника связан со стороной (a) следующим соотношением:
\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]
Подставим радиус:
\[ \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]
Умножим обе стороны на 6:
\[ 6\sqrt{3} = a \sqrt{3} \]
Теперь делим обе стороны на √3:
\[ a = 6 \text{ см} \]
Шаг 4: Нахождение площади основания
Площадь (S_осн) правильного треугольника вычисляется по формуле:
\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
Подставим значение стороны a:
\[ S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Шаг 5: Нахождение площади боковой грани
Площадь боковой грани (S_бок) — это площадь треугольника с основанием, равным стороне основания (a), и высотой, равной апофеме (h). Площадь треугольника вычисляется по формуле:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]
Подставим известные значения:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \text{ см}^2 \]
Так как у нас 3 боковые грани, общая площадь боковых граней будет:
\[ S_{бок. общ} = 3 \cdot S_{бок} = 3 \cdot 18 = 54 \text{ см}^2 \]
Шаг 6: Нахождение полной поверхности пирамиды
Полная поверхность (S_пол) пирамиды равна сумме площади основания и площади боковых граней:
\[ S_{пол} = S_{осн} + S_{бок. общ} \]
Подставляем значения:
\[ S_{пол} = 9\sqrt{3} + 54 \text{ см}^2 \]
Ответ
Таким образом, полная поверхность правильной треугольной пирамиды равна:
\[ S_{пол} = 9\sqrt{3} + 54 \text{ см}^2 \]
Это окончательный ответ, и вы теперь знаете, как вычислять полную поверхность правильной треугольной пирамиды!
