В классе 25 учащихся. Сколькими способами можно выбрать из них четырёх дежурных?

Чтобы решить задачу о том, сколько способов можно выбрать из 25 учащихся четырёх дежурных, нам нужно использовать комбинаторику, а именно формулу для сочетаний.

Шаг 1: Понимание задачи

В данной задаче мы выбираем 4 дежурных из 25 учащихся. Порядок выбора не имеет значения (то есть, выбрать А, Б, В и Г — это то же самое, что выбрать Г, В, Б и А), поэтому мы используем сочетания.

Шаг 2: Формула сочетаний

Формула для количества сочетаний (обозначается как C(n, k)) выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае 25 учащихся),
• \( k \) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 4 дежурных),
• \( ! \) — факториал числа (например, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)).

Шаг 3: Подставляем значения

Теперь подставим наши значения в формулу:

• \( n = 25 \)
• \( k = 4 \)

\[ C(25, 4) = \frac{25!}{4!(25-4)!} = \frac{25!}{4! \cdot 21!} \]

Шаг 4: Упрощение выражения

Мы можем упростить выражение, так как \( 25! = 25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21! \). Тогда мы можем сократить \( 21! \) в числителе и знаменателе:

\[ C(25, 4) = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22}{4!} \]

Теперь нам нужно вычислить \( 4! \):

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Шаг 5: Подставляем и считаем

Теперь подставим это значение в наше выражение:

\[ C(25, 4) = \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22}{24} \]

Шаг 6: Упрощаем дальнейшее

Мы можем сократить 24 в числителе и знаменателе:

\[ C(25, 4) = 25 \times 23 \times 22 \]

Теперь давайте посчитаем:

1. Сначала \( 25 \times 23 = 575 \)
2. Затем \( 575 \times 22 = 12650 \)

Ответ

Таким образом, количеством способов выбрать 4 дежурных из 25 учащихся является:

\[ C(25, 4) = 12650 \]

Итак, ответ на задачу: 12650 способов.