Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник, гипотенуза которого обозначена как ( c ), один катет ( a ), а другой катет ( b ). Из условия нам известно следующее:
- Отношение гипотенузы к одному из катетов: ( \frac{c}{a} = \frac{25}{24} ).
- Один из катетов равен 14 (предположим, что это ( b = 14 )).
Сначала выразим гипотенузу ( c ) через катет ( a ):
[
c = \frac{25}{24} a.
]
Теперь нам необходимо найти второй катет ( a ) с помощью теоремы Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
c^2 = a^2 + b^2.
]
Подставим известные значения:
[
\left(\frac{25}{24} a\right)^2 = a^2 + 14^2.
]
Теперь рассчитаем квадрат гипотенузы:
[
\frac{625}{576} a^2 = a^2 + 196.
]
Переносим ( a^2 ) влево:
[
\frac{625}{576} a^2 - a^2 = 196.
]
Объединяем дроби:
[
\frac{625}{576} a^2 - \frac{576}{576} a^2 = 196.
]
[
\frac{625 - 576}{576} a^2 = 196.
]
[
\frac{49}{576} a^2 = 196.
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( 576 ):
[
49 a^2 = 196 \times 576.
]
Теперь найдем ( 196 \times 576 ):
[
196 \times 576 = 113664.
]
Теперь делим обе стороны уравнения на 49:
[
a^2 = \frac{113664}{49}.
]
Посчитаем ( a^2 ):
[
a^2 = 2312.
]
Теперь найдём ( a ), взяв квадратный корень:
[
a = \sqrt{2312} \approx 48.
]
Теперь мы имеем оба катета: ( a \approx 48 ) и ( b = 14 ).
Теперь можем найти гипотенузу ( c ):
[
c = \frac{25}{24} a = \frac{25}{24} \times 48 = 50.
]
Для нахождения периметра треугольника, который равен сумме всех его сторон:
[
P = a + b + c = 48 + 14 + 50.
]
[
P = 112.
]
Таким образом, периметр треугольника равен 112.
