Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно 25/24, а другой катет равен 14. Найдите периметр треугольника.
Для решения задачи начнем с того, что у нас есть прямоугольный треугольник, гипотенуза которого обозначена как \( c \), один катет \( a \), а другой катет \( b \). Из условия нам известно следующее:
- Отношение гипотенузы к одному из катетов: \( \frac{c}{a} = \frac{25}{24} \).
- Один из катетов равен 14 (предположим, что это \( b = 14 \)).
Сначала выразим гипотенузу \( c \) через катет \( a \): \[ c = \frac{25}{24} a. \]
Теперь нам необходимо найти второй катет \( a \) с помощью теоремы Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[ c^2 = a^2 + b^2. \]
Подставим известные значения: \[ \left(\frac{25}{24} a\right)^2 = a^2 + 14^2. \]
Теперь рассчитаем квадрат гипотенузы: \[ \frac{625}{576} a^2 = a^2 + 196. \]
Переносим \( a^2 \) влево: \[ \frac{625}{576} a^2 - a^2 = 196. \]
Объединяем дроби: \[ \frac{625}{576} a^2 - \frac{576}{576} a^2 = 196. \] \[ \frac{625 - 576}{576} a^2 = 196. \] \[ \frac{49}{576} a^2 = 196. \]
Теперь умножим обе стороны уравнения на \( 576 \): \[ 49 a^2 = 196 \times 576. \]
Теперь найдем \( 196 \times 576 \): \[ 196 \times 576 = 113664. \]
Теперь делим обе стороны уравнения на 49: \[ a^2 = \frac{113664}{49}. \]
Посчитаем \( a^2 \): \[ a^2 = 2312. \]
Теперь найдём \( a \), взяв квадратный корень: \[ a = \sqrt{2312} \approx 48. \]
Теперь мы имеем оба катета: \( a \approx 48 \) и \( b = 14 \).
Теперь можем найти гипотенузу \( c \): \[ c = \frac{25}{24} a = \frac{25}{24} \times 48 = 50. \]
Для нахождения периметра треугольника, который равен сумме всех его сторон: \[ P = a + b + c = 48 + 14 + 50. \] \[ P = 112. \]
Таким образом, периметр треугольника равен 112.
