Из деревни в сторону железнодорожной станции одновременно отправились пешеход и велосипедист. когда велосипедист доехал до станции он повернул обратно и прибыл в деревню ровно в тот момент, когда пешеход дошёл до станции. найдите расстояние от деревни до железнодорожной станции если на обратном пути велосипедист встретил пешехода когда тому оставалось дойти до станции 5 км. запишите решение и ответ

Давайте решим задачу о пешеходе и велосипедисте пошагово. **Дано:** 1. Пешеход и велосипедист одновременно выходят из деревни в сторону железнодорожной станции. 2. Велосипедист доехал до станции, повернул обратно и вернулся в деревню в тот момент, когда пешеход дошёл до станции. 3. На обратном пути велосипедист встретил пешехода, когда тому осталось дойти до станции 5 км. **Найти:** расстояние от деревни до железнодорожной станции. Обозначим это расстояние как \( S \). **Обозначения:** - \( v_p \) — скорость пешехода. - \( v_b \) — скорость велосипедиста. - \( t_1 \) — время, за которое пешеход дошёл до станции. - \( t_2 \) — время, за которое велосипедист доехал до станции и вернулся обратно. ### Пошаговое решение: 1. **Определим время, за которое пешеход дошёл до станции:** Пешеходу, чтобы дойти до станции, требуется время: \[ t_1 = \frac{S}{v_p} \] 2. **Время, за которое велосипедист доехал до станции и вернулся:** Велосипедист доехал до станции, а потом вернулся обратно, поэтому его общее время движения равно: \[ t_2 = \frac{S}{v_b} + \frac{S}{v_b} = \frac{2S}{v_b} \] Согласно условию, велосипедист возвращается в деревню в момент, когда пешеход доходит до станции: \[ t_1 = t_2 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{S}{v_p} = \frac{2S}{v_b} \] 3. **Упростим уравнение:** Умножим обе стороны на \( v_p \cdot v_b \) (при условии, что скорости не равны нулю) и упростим: \[ S \cdot v_b = 2S \cdot v_p \] При условии, что \( S \neq 0 \), можем разделить обе стороны на \( S \): \[ v_b = 2v_p \] 4. **Посмотрим на ситуацию встречи:** Велосипист пошел обратно и встретил пешехода, когда у него осталось 5 км до станции. Это значит, что в момент встречи пешеход прошёл \( S - 5 \) км, пока велосипедист доехал до станции и движется обратно. Время, затраченное на этот отрезок, для пешехода: \[ t_p = \frac{S - 5}{v_p} \] Для велосипедиста, который доехал до станции, затем вернулся на 5 км (то есть встретил пешехода на пути назад): \[ t_b = \frac{S}{v_b} + \frac{5}{v_b} \] 5. **Сравниваем времена:** В момент их встречи оба потратили одинаковое время: \[ \frac{S - 5}{v_p} = \frac{S}{v_b} + \frac{5}{v_b} \] Заменяем \( v_b \) на \( 2v_p \) (из предыдущего шага): \[ \frac{S - 5}{v_p} = \frac{S}{2v_p} + \frac{5}{2v_p} \] Умножим обе стороны на \( 2v_p \) (для удобства): \[ 2(S - 5) = S + 5 \] Упростим: \[ 2S - 10 = S + 5 \] \[ 2S - S = 5 + 10 \] \[ S = 15 \text{ км} \] ### Ответ: Расстояние от деревни до железнодорожной станции составляет \( 15 \) км.