Найди площадь треугольника M N K MNK , в котором ∠ M = 45 ° ∠M=45° , из точки N N проведена высота N Q NQ , при этом M Q = 7 MQ=7 мм, Q K = 6 QK=6 мм.

Чтобы найти площадь треугольника \( MNK \) с заданными условиями, воспользуемся следующими шагами.

1. Понимание задачи

У нас есть треугольник \( MNK \) с углом \( \angle M = 45^\circ \). Из точки \( N \) проведена высота \( NQ \), где \( MQ = 7 \) мм и \( QK = 6 \) мм. Эта высота \( NQ \) будет перпендикулярна стороне \( MK \).

2. Определение необходимых компонентов

Высота делит треугольник на два правых треугольника, и для нахождения площади треугольника мы можем воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times h \]

где \( S \) — площадь треугольника, \( a \) — основание (в нашем случае это сторона \( MK \)), а \( h \) — высота (в нашем случае это длина отрезка \( NQ \)).

3. Находим сторону \( MK \)

Сначала определим основание \( MK \) как сумму \( MQ \) и \( QK \):

\[ MK = MQ + QK = 7 \, \text{мм} + 6 \, \text{мм} = 13 \, \text{мм} \]

4. Определение высоты \( NQ \)

Так как \( \angle M = 45^\circ \), можно определить треугольник \( MNQ \). В этом треугольнике:

• \( MQ = 7 \) мм (прилежащая сторона к углу \( M \))
• \( NQ \) — это высота, и к углу \( M \) она образует прямой угол.

Поскольку угол \( M \) равен \( 45^\circ \), стороны наполовину равны. То есть, можно сказать, что:

\[ \tan(45^\circ) = 1 \Rightarrow h = MQ \]

Следовательно, высота \( NQ \) равна:

\[ NQ = MQ = 7 \, \text{мм} \]

5. Подставляем значения в формулу площади

Теперь, когда у нас есть и основание \( MK \), и высота \( NQ \):

\[ S = \frac{1}{2} \times MK \times NQ = \frac{1}{2} \times 13 \, \text{мм} \times 7 \, \text{мм} \]

6. Вычисляем площадь

Выполним умножение:

\[ S = \frac{1}{2} \times 13 \times 7 = \frac{91}{2} = 45.5 \, \text{мм}^2 \]

Ответ

Таким образом, площадь треугольника \( MNK \) составляет \( 45.5 \, \text{мм}^2 \).