Найди площадь треугольника  M N K MNK, в котором  ∠ M = 45 ° ∠M=45°, из точки  N N проведена высота  N Q NQ, при этом  M Q = 7 MQ=7 мм,  Q K = 6 QK=6 мм.

Чтобы найти площадь треугольника \( MNK \) с заданными условиями, воспользуемся следующими шагами. ### 1. Понимание задачи У нас есть треугольник \( MNK \) с углом \( \angle M = 45^\circ \). Из точки \( N \) проведена высота \( NQ \), где \( MQ = 7 \) мм и \( QK = 6 \) мм. Эта высота \( NQ \) будет перпендикулярна стороне \( MK \). ### 2. Определение необходимых компонентов Высота делит треугольник на два правых треугольника, и для нахождения площади треугольника мы можем воспользоваться формулой: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times h \] где \( S \) — площадь треугольника, \( a \) — основание (в нашем случае это сторона \( MK \)), а \( h \) — высота (в нашем случае это длина отрезка \( NQ \)). ### 3. Находим сторону \( MK \) Сначала определим основание \( MK \) как сумму \( MQ \) и \( QK \): \[ MK = MQ + QK = 7 \, \text{мм} + 6 \, \text{мм} = 13 \, \text{мм} \] ### 4. Определение высоты \( NQ \) Так как \( \angle M = 45^\circ \), можно определить треугольник \( MNQ \). В этом треугольнике: - \( MQ = 7 \) мм (прилежащая сторона к углу \( M \)) - \( NQ \) — это высота, и к углу \( M \) она образует прямой угол. Поскольку угол \( M \) равен \( 45^\circ \), стороны наполовину равны. То есть, можно сказать, что: \[ \tan(45^\circ) = 1 \Rightarrow h = MQ \] Следовательно, высота \( NQ \) равна: \[ NQ = MQ = 7 \, \text{мм} \] ### 5. Подставляем значения в формулу площади Теперь, когда у нас есть и основание \( MK \), и высота \( NQ \): \[ S = \frac{1}{2} \times MK \times NQ = \frac{1}{2} \times 13 \, \text{мм} \times 7 \, \text{мм} \] ### 6. Вычисляем площадь Выполним умножение: \[ S = \frac{1}{2} \times 13 \times 7 = \frac{91}{2} = 45.5 \, \text{мм}^2 \] ### Ответ Таким образом, площадь треугольника \( MNK \) составляет \( 45.5 \, \text{мм}^2 \).