упростить

Чтобы упростить выражение \(\frac{1 + \cos 2a \pm \sin 2a}{\cos a \pm \sin a}\), следуйте этим шагам:

Шаг 1: Преобразование числителя

Используем формулы для удвоенного угла:

• \(\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a\).
• \(\sin 2a = 2 \sin a \cos a\).

Подставим эти значения в числитель:

\[ 1 + \cos 2a \pm \sin 2a = 1 + (\cos^2 a - \sin^2 a) \pm 2 \sin a \cos a. \]

Шаг 2: Объединение и упрощение

Упрощаем выражение в числителе:

\[ 1 + \cos^2 a - \sin^2 a = (\cos^2 a + 1 - \sin^2 a). \]

Заметим, что \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), следовательно:

\[ \cos^2 a + 1 - \sin^2 a = 2\cos^2 a. \]

Итак, с учётом \( \pm 2 \sin a \cos a \), у нас получится:

\[ 2\cos^2 a \pm 2 \sin a \cos a = 2\cos a (\cos a \pm \sin a). \]

Шаг 3: Сокращение

Теперь наше выражение выглядит следующим образом:

\[ \frac{2\cos a (\cos a \pm \sin a)}{\cos a \pm \sin a}. \]

Если \((\cos a \pm \sin a) \neq 0\), то мы можем сократить числитель и знаменатель:

\[ 2\cos a. \]

Итак, упрощённое выражение: \[ 2\cos a. \]

Вывод

Упрощённая форма выражения \(\frac{1 + \cos 2a \pm \sin 2a}{\cos a \pm \sin a}\) — это \(2\cos a\), при условии, что \(\cos a \pm \sin a \neq 0\).