Чтобы упростить выражение (\frac{1 + \cos 2a \pm \sin 2a}{\cos a \pm \sin a}), следуйте этим шагам:
Шаг 1: Преобразование числителя
Используем формулы для удвоенного угла:
- (\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a).
- (\sin 2a = 2 \sin a \cos a).
Подставим эти значения в числитель:
[
1 + \cos 2a \pm \sin 2a = 1 + (\cos^2 a - \sin^2 a) \pm 2 \sin a \cos a.
]
Шаг 2: Объединение и упрощение
Упрощаем выражение в числителе:
[
1 + \cos^2 a - \sin^2 a = (\cos^2 a + 1 - \sin^2 a).
]
Заметим, что (\cos^2 a + \sin^2 a = 1), следовательно:
[
\cos^2 a + 1 - \sin^2 a = 2\cos^2 a.
]
Итак, с учётом ( \pm 2 \sin a \cos a ), у нас получится:
[
2\cos^2 a \pm 2 \sin a \cos a = 2\cos a (\cos a \pm \sin a).
]
Шаг 3: Сокращение
Теперь наше выражение выглядит следующим образом:
[
\frac{2\cos a (\cos a \pm \sin a)}{\cos a \pm \sin a}.
]
Если ((\cos a \pm \sin a) \neq 0), то мы можем сократить числитель и знаменатель:
[
2\cos a.
]
Итак, упрощённое выражение:
[
2\cos a.
]
Вывод
Упрощённая форма выражения (\frac{1 + \cos 2a \pm \sin 2a}{\cos a \pm \sin a}) — это (2\cos a), при условии, что (\cos a \pm \sin a \neq 0).
