Вычисли площадь боковой и полной поверхности правильной усечённой треугольной пирамиды, если стороны оснований равны 10 дм и 18 дм, а апофема равна 7 дм.

Чтобы вычислить площадь боковой и полной поверхности правильной усечённой треугольной пирамиды, сначала нужно понять некоторые основные понятия. ### 1. Определения **Правильная усечённая треугольная пирамида** — это пирамида, у которой верхнее и нижнее основания являются равносторонними треугольниками. - **Стороны оснований:** \( a_1 = 10 \, \text{дм} \) (нижнее основание) и \( a_2 = 18 \, \text{дм} \) (верхнее основание). - **Апофема (h)** — это расстояние от центра основания до боковой грани, перпендикулярно к основанию: \( h = 7 \, \text{дм} \). ### 2. Площадь боковой поверхности Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды можно вычислить по формуле: \[ S_b = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \times h \] где \( P_1 \) и \( P_2 \) — периметры оснований. #### 2.1 Периметры оснований - **Периметр нижнего основания** \( P_1 \): \[ P_1 = 3 \times a_1 = 3 \times 10 = 30 \, \text{дм} \] - **Периметр верхнего основания** \( P_2 \): \[ P_2 = 3 \times a_2 = 3 \times 18 = 54 \, \text{дм} \] #### 2.2 Площадь боковой поверхности Теперь подставим периметры в формулу для площади боковой поверхности: \[ S_b = \frac{1}{2} (30 + 54) \times 7 = \frac{1}{2} \times 84 \times 7 = 42 \times 7 = 294 \, \text{дм}^2 \] ### 3. Площадь полной поверхности Полная площадь поверхности усечённой пирамиды включает как боковую, так и площади оснований: \[ S_p = S_b + S_1 + S_2 \] где \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади нижнего и верхнего оснований соответственно. #### 3.1 Площади оснований - **Площадь нижнего основания** \( S_1 \): Площадь равностороннего треугольника рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Для нижнего основания: \[ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (10)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 = 25\sqrt{3} \, \text{дм}^2 \] - **Площадь верхнего основания** \( S_2 \): \[ S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (18)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 324 = 81\sqrt{3} \, \text{дм}^2 \] #### 3.2 Полная площадь поверхности Теперь можем подставить всё в формулу: \[ S_p = 294 + 25\sqrt{3} + 81\sqrt{3} = 294 + 106\sqrt{3} \, \text{дм}^2 \] ### 4. Итоговый результат Таким образом, площадь боковой поверхности равна **294 дм²**, а полная площадь поверхности — **294 + 106√3 дм²**. Это дает нам окончательные ответы: - **Площадь боковой поверхности:** \( 294 \, \text{дм}^2 \) - **Полная площадь поверхности:** \( 294 + 106\sqrt{3} \, \text{дм}^2 \)