Вычисли площадь боковой и полной поверхности правильной усечённой треугольной пирамиды, если стороны оснований равны 10 дм и 18 дм, а апофема равна 7 дм.

Чтобы вычислить площадь боковой и полной поверхности правильной усечённой треугольной пирамиды, сначала нужно понять некоторые основные понятия.

1. Определения

Правильная усечённая треугольная пирамида — это пирамида, у которой верхнее и нижнее основания являются равносторонними треугольниками.

• Стороны оснований: \( a_1 = 10 \, \text{дм} \) (нижнее основание) и \( a_2 = 18 \, \text{дм} \) (верхнее основание).
• Апофема (h) — это расстояние от центра основания до боковой грани, перпендикулярно к основанию: \( h = 7 \, \text{дм} \).

2. Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды можно вычислить по формуле: \[ S_b = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \times h \] где \( P_1 \) и \( P_2 \) — периметры оснований.

2.1 Периметры оснований

• Периметр нижнего основания \( P_1 \): \[ P_1 = 3 \times a_1 = 3 \times 10 = 30 \, \text{дм} \]
• Периметр верхнего основания \( P_2 \): \[ P_2 = 3 \times a_2 = 3 \times 18 = 54 \, \text{дм} \]

2.2 Площадь боковой поверхности

Теперь подставим периметры в формулу для площади боковой поверхности: \[ S_b = \frac{1}{2} (30 + 54) \times 7 = \frac{1}{2} \times 84 \times 7 = 42 \times 7 = 294 \, \text{дм}^2 \]

3. Площадь полной поверхности

Полная площадь поверхности усечённой пирамиды включает как боковую, так и площади оснований: \[ S_p = S_b + S_1 + S_2 \] где \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади нижнего и верхнего оснований соответственно.

3.1 Площади оснований

• Площадь нижнего основания \( S_1 \): Площадь равностороннего треугольника рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Для нижнего основания: \[ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (10)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 = 25\sqrt{3} \, \text{дм}^2 \]

• Площадь верхнего основания \( S_2 \): \[ S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (18)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 324 = 81\sqrt{3} \, \text{дм}^2 \]

3.2 Полная площадь поверхности

Теперь можем подставить всё в формулу: \[ S_p = 294 + 25\sqrt{3} + 81\sqrt{3} = 294 + 106\sqrt{3} \, \text{дм}^2 \]

4. Итоговый результат

Таким образом, площадь боковой поверхности равна 294 дм², а полная площадь поверхности — 294 + 106√3 дм².

Это дает нам окончательные ответы:

• Площадь боковой поверхности: \( 294 \, \text{дм}^2 \)
• Полная площадь поверхности: \( 294 + 106\sqrt{3} \, \text{дм}^2 \)