косинус острого угла ромба равен √21/5, а радиус вписанной в этот ромб окружности равен 5. найдите сторону ромба
Давайте решим данную задачу шаг за шагом.
Дано:
- Косинус острого угла ромба \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{21}}{5} \)
- Радиус вписанной в ромб окружности \( r = 5 \)
Найти: Длину стороны ромба \( a \).
Шаг 1: Найдите площадь ромба через радиус вписанной окружности
Существует формула для нахождения площади ромба через радиус вписанной окружности и его периметр:
\[ S = r \cdot P \] где \( S \) — площадь ромба, \( r \) — радиус вписанной окружности, а \( P \) — периметр ромба.
Периметр ромба можно выразить через сторону:
\[ P = 4a \]
Следовательно, площадь ромба можно представить так:
\[ S = r \cdot 4a = 20a \]
Шаг 2: Найдите площадь ромба через сторону и угол
Площадь ромба также можно вычислить через сторону и косинус острого угла:
\[ S = a^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \]
Мы знаем \( \cos \alpha \), но чтобы найти \( \sin \alpha \), воспользуемся основной тригонометрической тождественностью:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Подставим известное значение косинуса:
\[ \sin^2 \alpha + \left( \frac{\sqrt{21}}{5} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{21}{25} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{21}{25} = \frac{4}{25} \] \[ \sin \alpha = \frac{2}{5} \]
Таким образом, мы нашли значение синуса острого угла.
Теперь подставим в формулу для площади:
\[ S = a^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = a^2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right) \] \[ S = a^2 \cdot \frac{2\sqrt{21}}{25} \]
Шаг 3: Приведите обе формулы для площади к одному выражению
Теперь у нас есть два выражения для площади ромба \( S \):
- \( S = 20a \)
- \( S = a^2 \cdot \frac{2\sqrt{21}}{25} \)
Мы приравняем их:
\[ 20a = a^2 \cdot \frac{2\sqrt{21}}{25} \]
Шаг 4: Решить полученное уравнение
Умножим обе стороны на 25, чтобы избавиться от дроби:
\[ 500a = a^2 \cdot 2\sqrt{21} \]
Теперь преобразуем уравнение:
\[ a^2 \cdot 2\sqrt{21} - 500a = 0 \]
Вынесем \( a \) за скобки:
\[ a(2\sqrt{21}a - 500) = 0 \]
Это уравнение имеет два решения: \( a = 0 \) или \( 2\sqrt{21}a - 500 = 0 \). Поскольку сторона не может быть равна нулю, решим последнее:
\[ 2\sqrt{21}a = 500 \] \[ a = \frac{500}{2\sqrt{21}} = \frac{250}{\sqrt{21}} \]
Шаг 5: Окончательное выражение
Чтобы выразить это значение без иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{21} \):
\[ a = \frac{250\sqrt{21}}{21} \]
Таким образом, длина стороны ромба:
\[ a \approx 54.46 \text{ (если считать } \sqrt{21} \approx 4.58\text{)} \]
Ответ
Длина стороны ромба составляет \( \frac{250\sqrt{21}}{21} \).
