Косинус острого угла ромба равен √21/5, а радиус вписанной в этот ромб окружности равен 5. найдите сторону ромба

Давайте решим данную задачу шаг за шагом. **Дано:** 1. Косинус острого угла ромба \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{21}}{5} \) 2. Радиус вписанной в ромб окружности \( r = 5 \) **Найти:** Длину стороны ромба \( a \). ### Шаг 1: Найдите площадь ромба через радиус вписанной окружности Существует формула для нахождения площади ромба через радиус вписанной окружности и его периметр: \[ S = r \cdot P \] где \( S \) — площадь ромба, \( r \) — радиус вписанной окружности, а \( P \) — периметр ромба. Периметр ромба можно выразить через сторону: \[ P = 4a \] Следовательно, площадь ромба можно представить так: \[ S = r \cdot 4a = 20a \] ### Шаг 2: Найдите площадь ромба через сторону и угол Площадь ромба также можно вычислить через сторону и косинус острого угла: \[ S = a^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \] Мы знаем \( \cos \alpha \), но чтобы найти \( \sin \alpha \), воспользуемся основной тригонометрической тождественностью: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим известное значение косинуса: \[ \sin^2 \alpha + \left( \frac{\sqrt{21}}{5} \right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{21}{25} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{21}{25} = \frac{4}{25} \] \[ \sin \alpha = \frac{2}{5} \] Таким образом, мы нашли значение синуса острого угла. Теперь подставим в формулу для площади: \[ S = a^2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha = a^2 \cdot \left(\frac{2}{5}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right) \] \[ S = a^2 \cdot \frac{2\sqrt{21}}{25} \] ### Шаг 3: Приведите обе формулы для площади к одному выражению Теперь у нас есть два выражения для площади ромба \( S \): 1. \( S = 20a \) 2. \( S = a^2 \cdot \frac{2\sqrt{21}}{25} \) Мы приравняем их: \[ 20a = a^2 \cdot \frac{2\sqrt{21}}{25} \] ### Шаг 4: Решить полученное уравнение Умножим обе стороны на 25, чтобы избавиться от дроби: \[ 500a = a^2 \cdot 2\sqrt{21} \] Теперь преобразуем уравнение: \[ a^2 \cdot 2\sqrt{21} - 500a = 0 \] Вынесем \( a \) за скобки: \[ a(2\sqrt{21}a - 500) = 0 \] Это уравнение имеет два решения: \( a = 0 \) или \( 2\sqrt{21}a - 500 = 0 \). Поскольку сторона не может быть равна нулю, решим последнее: \[ 2\sqrt{21}a = 500 \] \[ a = \frac{500}{2\sqrt{21}} = \frac{250}{\sqrt{21}} \] ### Шаг 5: Окончательное выражение Чтобы выразить это значение без иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{21} \): \[ a = \frac{250\sqrt{21}}{21} \] Таким образом, длина стороны ромба: \[ a \approx 54.46 \text{ (если считать } \sqrt{21} \approx 4.58\text{)} \] ### Ответ Длина стороны ромба составляет \( \frac{250\sqrt{21}}{21} \).