Для решения задачи о вероятности мы будем использовать формулы для сочетаний, так как мы извлекаем шары без возвращения и порядок выбора не имеет значения. Давайте разберемся по шагам.
Шаг 1: Определим общее количество шаров
В коробке у нас:
- 7 красных шаров
- 3 синих шара
Итого: ( 7 + 3 = 10 ) шаров.
Шаг 2: Определим событие и его условия
Нам нужно найти вероятность события, что среди извлеченных 5 шаров будет не более 3 красных. Это значит, что возможные случаи:
- 0 красных шаров
- 1 красный шар
- 2 красных шара
- 3 красных шара
Шаг 3: Найдем общее количество способов извлечения 5 шаров из 10
Общее количество способов выбрать 5 шаров из 10 мы можем записать с помощью сочетаний:
[
\binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10 - 5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252.
]
Шаг 4: Найдем количество способов для каждого случая
Теперь посчитаем количество способов для каждого случая.
0 красных шаров (все синие):
Количество способов выбрать 0 красных и 5 синих:
[
\binom{7}{0} \times \binom{3}{5} = 1 \times 0 = 0.
]
(Невозможно выбрать 5 синих, так как их всего 3.)
1 красный шар:
Количество способов выбрать 1 красный и 4 синих:
[
\binom{7}{1} \times \binom{3}{4} = 7 \times 0 = 0.
]
(Невозможно выбрать 4 синих.)
2 красных шара:
Количество способов выбрать 2 красных и 3 синих:
[
\binom{7}{2} \times \binom{3}{3} = 21 \times 1 = 21.
]
3 красных шара:
Количество способов выбрать 3 красных и 2 синих:
[
\binom{7}{3} \times \binom{3}{2} = 35 \times 3 = 105.
]
Шаг 5: Сложим все подходящие случаи
Теперь складываем количество способов для всех случаев, которые подходят под наше событие:
[
0 + 0 + 21 + 105 = 126.
]
Шаг 6: Находим вероятность
Теперь можем найти вероятность:
[
P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{126}{252} = \frac{1}{2}.
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что среди извлеченных 5 шаров не более 3 красных, равна ( \frac{1}{2} ) или 50%.
