В ко¬роб¬ке 7 крас¬ных и 3 синих шара. Слу¬чай¬ным об¬ра¬зом из ко¬роб¬ки из¬вле¬ка¬ют 5 шаров. Ка¬ко¬ва ве¬ро¬ят¬ность со¬бы¬тия «среди из¬вле¬чен¬ных не более 3 крас¬ных шаров»?

Для решения задачи о вероятности мы будем использовать формулы для сочетаний, так как мы извлекаем шары без возвращения и порядок выбора не имеет значения. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Определим общее количество шаров

В коробке у нас:

• 7 красных шаров
• 3 синих шара

Итого: \( 7 + 3 = 10 \) шаров.

Шаг 2: Определим событие и его условия

Нам нужно найти вероятность события, что среди извлеченных 5 шаров будет не более 3 красных. Это значит, что возможные случаи:

• 0 красных шаров
• 1 красный шар
• 2 красных шара
• 3 красных шара

Шаг 3: Найдем общее количество способов извлечения 5 шаров из 10

Общее количество способов выбрать 5 шаров из 10 мы можем записать с помощью сочетаний: \[ \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10 - 5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252. \]

Шаг 4: Найдем количество способов для каждого случая

Теперь посчитаем количество способов для каждого случая.

1. 0 красных шаров (все синие): Количество способов выбрать 0 красных и 5 синих: \[ \binom{7}{0} \times \binom{3}{5} = 1 \times 0 = 0. \] (Невозможно выбрать 5 синих, так как их всего 3.)

2. 1 красный шар: Количество способов выбрать 1 красный и 4 синих: \[ \binom{7}{1} \times \binom{3}{4} = 7 \times 0 = 0. \] (Невозможно выбрать 4 синих.)

3. 2 красных шара: Количество способов выбрать 2 красных и 3 синих: \[ \binom{7}{2} \times \binom{3}{3} = 21 \times 1 = 21. \]

4. 3 красных шара: Количество способов выбрать 3 красных и 2 синих: \[ \binom{7}{3} \times \binom{3}{2} = 35 \times 3 = 105. \]

Шаг 5: Сложим все подходящие случаи

Теперь складываем количество способов для всех случаев, которые подходят под наше событие: \[ 0 + 0 + 21 + 105 = 126. \]

Шаг 6: Находим вероятность

Теперь можем найти вероятность: \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{126}{252} = \frac{1}{2}. \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что среди извлеченных 5 шаров не более 3 красных, равна \( \frac{1}{2} \) или 50%.