Исследуйте функцию и постройте график y=3x^2-4x+5

Для того чтобы проанализировать функцию \( y = 3x^2 - 4x + 5 \) и построить её график, давайте подробно разберемся с ключевыми аспектами этой функции.

1. Определение функции

Функция \( y = 3x^2 - 4x + 5 \) представляет собой квадратичную функцию, поскольку её степень (степень главного члена) равна 2. Это означает, что график функции будет иметь форму параболы.

2. Определение коэффициентов

• Коэффициент при \( x^2 \): \( a = 3 \)
• Коэффициент при \( x \): \( b = -4 \)
• Свободный член: \( c = 5 \)

Парабола открывается вверх, так как \( a > 0 \).

3. Нахождение вершины параболы

Вершина параболы \( x_{v} \) может быть найдена по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Подставляем значения \( b \) и \( a \): \[ x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Теперь найдем значение функции в этой точке (ординату вершины): \[ y_v = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) + 5 \] \[ y_v = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 5 \] \[ y_v = \frac{12}{9} - \frac{24}{9} + \frac{45}{9} = \frac{12 - 24 + 45}{9} = \frac{33}{9} = \frac{11}{3} \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(\frac{2}{3}, \frac{11}{3}\right) \).

4. Нахождение корней функции (если есть)

Чтобы найти корни уравнения \( 3x^2 - 4x + 5 = 0 \), используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44 \]

Поскольку дискриминант отрицательный, у функции нет действительных корней, и она не пересекает ось \( x \).

5. Построение графика функции

Теперь, когда мы знаем важные характеристики функции, можем построить график.

1. Намечаем вершину параболы в точке \( \left(\frac{2}{3}, \frac{11}{3}\right) \).
2. Парабола открывается вверх и не пересекает ось \( x \). Мы можем также найти значение функции для нескольких значений \( x \) для создания графика.

Например, вычислим значение функции в некоторых точках:

• Для \( x = 0 \): \( y = 3(0)^2 - 4(0) + 5 = 5 \)
• Для \( x = 1 \): \( y = 3(1)^2 - 4(1) + 5 = 3 - 4 + 5 = 4 \)
• Для \( x = 2 \): \( y = 3(2)^2 - 4(2) + 5 = 12 - 8 + 5 = 9 \)

Теперь можно нарисовать график, нанеся найденные точки и вершину параболы.

6. Вывод

График функции будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх, с вершиной в точке \( \left(\frac{2}{3}, \frac{11}{3}\right) \) и осью симметрии, проходящей через эту вершину. Он не будет пересекать ось \( x \).

Для более точного графика следует воспользоваться графическим редактором или специализированными программами.