Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции ( f(x) = \sin(3x) ) в точке с абсциссой ( x_0 = \frac{\pi}{12} ), нам необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти производную функции
Угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке равен значению производной функции в этой точке. Начнем с вычисления производной ( f'(x) ) функции ( f(x) = \sin(3x) ).
Используем правило производной для функции синуса и цепное правило:
[
f'(x) = \frac{d}{dx} \sin(3x) = \cos(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = 3 \cos(3x)
]
Шаг 2: Подставить ( x_0 ) в производную
Теперь подставим значение ( x_0 = \frac{\pi}{12} ) в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной:
[
f'\left(\frac{\pi}{12}\right) = 3 \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)
]
Зная, что ( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} ), получаем:
[
f'\left(\frac{\pi}{12}\right) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
]
Шаг 3: Записать ответ
Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции ( f(x) = \sin(3x) ) в точке с абсциссой ( x_0 = \frac{\pi}{12} ) равен:
[
\frac{3\sqrt{2}}{2}
]
Итог
Угловой коэффициент касательной в точке ( x = \frac{\pi}{12} ) для функции ( f(x) = \sin(3x) ) составляет ( \frac{3\sqrt{2}}{2} ).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
