Найти угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = sin 3x в точке с абсциссой x_{0} = pi/12

Чтобы найти угловой коэффициент касательной к графику функции \( f(x) = \sin(3x) \) в точке с абсциссой \( x_0 = \frac{\pi}{12} \), нам необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти производную функции

Угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке равен значению производной функции в этой точке. Начнем с вычисления производной \( f'(x) \) функции \( f(x) = \sin(3x) \).

Используем правило производной для функции синуса и цепное правило:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \sin(3x) = \cos(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = 3 \cos(3x) \]

Шаг 2: Подставить \( x_0 \) в производную

Теперь подставим значение \( x_0 = \frac{\pi}{12} \) в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной:

\[ f'\left(\frac{\pi}{12}\right) = 3 \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{12}\right) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Зная, что \( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \), получаем:

\[ f'\left(\frac{\pi}{12}\right) = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 3: Записать ответ

Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции \( f(x) = \sin(3x) \) в точке с абсциссой \( x_0 = \frac{\pi}{12} \) равен:

\[ \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

Итог

Угловой коэффициент касательной в точке \( x = \frac{\pi}{12} \) для функции \( f(x) = \sin(3x) \) составляет \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!