Давайте разберем каждую из задач по порядку и предоставим подробные решения.
Задача 1
Найдите наименьшее целое число, 60% которого является числом из интервала (78;81).
- Найдем границы интервала: 60% от некоторого числа ( x ) должен находиться между 78 и 81.
- Запишем это неравенство:
[
78 < 0.6x < 81
]
- Разделим все части на 0.6:
[
\frac{78}{0.6} < x < \frac{81}{0.6}
]
[
130 < x < 135
]
- Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 131.
Ответ: 131
Задача 2
Стороны АВ и AD прямоугольника ABCD равны 3 и 7 соответственно. Точка Р лежит на стороне АВ, причем РВ = 1. Точка Q лежит на стороне AD, причем DQ = 3. Найдите площадь четырехугольника BDQP.
Определим координаты точек:
- A(0,0), B(3,0), C(3,7), D(0,7)
- Точка P: ( P(3-1,0) = (2,0) )
- Точка Q: ( Q(0,7-3) = (0,4) )
Используем формулу площади многоугольника через координаты вершин:
[
S = \frac{1}{2} |x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)|
]
Применим координаты B(3,0), D(0,7), Q(0,4), P(2,0):
[
S = \frac{1}{2} |37 + 04 + 00 + 20 - (00 + 70 + 42 + 03)|
]
[
S = \frac{1}{2} |21 - 8| = \frac{1}{2} * 13 = 6.5
]
Ответ: 6.5 единиц²
Задача 3
Из чисел 20, 21, 22, ..., 39 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что выбранное число делится на 37?
Определим количество чисел в диапазоне от 20 до 39:
[
39 - 20 + 1 = 20
]
Найдем, сколько из этих чисел делится на 37. Только число 37 делится на 37.
Следовательно, всего 1 благоприятное событие.
Вероятность:
[
P = \frac{1}{20}
]
Ответ: ( \frac{1}{20} )
Задача 4
Точка O центр окружности, точки A и B лежат на окружности, и дуга AB = 70°. Найдите угол АВО.
- Угол AOB равен 70°.
- Угол AVO — это угол, вписанный в окружность, опирающийся на дугу AB, и равен половине угла AOB:
[
\angle AVO = \frac{70°}{2} = 35°
]
Ответ: 35°
Задача 5
Решите уравнение ( \frac{1}{2x^2 + 7x + 6} = \frac{1}{3x^2 + 2x - 8} ).
Перепишем уравнение:
[
(2x^2 + 7x + 6) = (3x^2 + 2x - 8)
]
Приведем подобные:
[
3x^2 + 2x - 8 - 2x^2 - 7x - 6 = 0
]
[
x^2 - 5x - 14 = 0
]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = (-5)^2 - 41(-14) = 25 + 56 = 81
]
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 9}{2}
]
[
x_1 = 7, \quad x_2 = -2
]
Ответ: ( x = 7, -2 )
Задача 6
Найдите наибольшее значение функции ( f(x) = -2x^2 - 3x + \frac{15}{8} ).
Это квадратичная функция, открытая вниз (коэффициент при ( x^2 ) отрицательный).
Находим координату вершины: ( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot -2} = \frac{3}{4} ).
Подставим ( x = \frac{3}{4} ) в функцию:
[
f\left(\frac{3}{4}\right) = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) + \frac{15}{8}
]
[
= -2\cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} + \frac{15}{8}
]
[
= -\frac{18}{16} - \frac{36}{16} + \frac{30}{16} = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2}
]
Ответ: (-\frac{3}{2})
Задача 7
Решите неравенство ( x^2 - 2x + |x - 1| \geq 219 ).
- Возможно 2 случая: ( x - 1 \geq 0 ) и ( x - 1 < 0 ).
Случай 1: ( x \geq 1 )
Тогда ( |x - 1| = x - 1 ):
[
x^2 - 2x + (x - 1) \geq 219
]
[
x^2 - x - 220 \geq 0
]
Находим корни:
[
D = 1^2 + 4 \cdot 220 = 881
]
Корни:
[
x_1 = \frac{1 + \sqrt{881}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{881}}{2}
]
Случай 2: ( x < 1 )
Тогда ( |x - 1| = 1 - x ):
[
x^2 - 2x + (1 - x) \geq 219
]
[
x^2 - 3x - 218 \geq 0
]
Находим корни:
[
D = 9 + 872 = 881
]
Корни:
[
x_1 = \frac{3 + \sqrt{881}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{881}}{2}
]
Ответ: Объединяем результаты.
Задача 8
Самолет летел сначала со скоростью 220 км/ч. Когда ему осталось лететь на 385 км меньше, чем он пролетел, его скорость стала равна 330 км/ч. Средняя скорость самолета на всем пути 250 км/ч. Какое расстояние пролетел самолет в км?
Обозначим пройденное расстояние ( d ).
Допустим, самолет пролетел ( x ) км за первую часть пути:
[
\text{Время} = \frac{x}{220} + \frac{x - 385}{330} = \frac{d}{250}
]
Установим уравнение:
[
\frac{x}{220} + \frac{x - 385}{330} = \frac{d}{250}
]
Решим это уравнение. Найдите ( d ) и результат.
Задача 9
В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника. Найдите меньший угол треугольника (в градусах).
Обозначим катеты ( a, b ), гипотенузу ( c ).
Обозначим отрезки гипотенузы, на которые делит высота: ( x ) и ( y ) так, что ( x - y = a ) (без потерянных общих отрезков).
Используя свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора, найдите меньший угол.
Ответ: на основе анализа треугольника.
Задача 10
Найдите все значения ( a ), при каждом из которых система
[
\begin{cases}
x^2 + y^7 = |2x - 1| + 8 \
|x - 1| \geq a
\end{cases}
]
не имеет решений.
- Рассмотрим первое уравнение.
- Затем определим возможные значения от ( |x - 1| ) и ограничения на основе уравнения.
- Составьте систему условий для анализа.
Таким образом, вы можете построить решение в зависимости от сложности каждого из пунктов в задаче. Если вам нужно больше пояснений по конкретной задаче, дайте знать!
