1. Найдите наименьшее целое число, 60% которого является числом из интервала (78;81). 2. Стороны АВ и AD прямоугольника ABCD равны 3 и 7 соответственно. Точка Р лежит на стороне…

Давайте разберем каждую из задач по порядку и предоставим подробные решения.

Задача 1

Найдите наименьшее целое число, 60% которого является числом из интервала (78;81).

1. Найдем границы интервала: 60% от некоторого числа \( x \) должен находиться между 78 и 81.
2. Запишем это неравенство: \[ 78 < 0.6x < 81 \]
3. Разделим все части на 0.6: \[ \frac{78}{0.6} < x < \frac{81}{0.6} \] \[ 130 < x < 135 \]
4. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 131.

Ответ: 131

Задача 2

Стороны АВ и AD прямоугольника ABCD равны 3 и 7 соответственно. Точка Р лежит на стороне АВ, причем РВ = 1. Точка Q лежит на стороне AD, причем DQ = 3. Найдите площадь четырехугольника BDQP.

1. Определим координаты точек:

   • A(0,0), B(3,0), C(3,7), D(0,7)
   • Точка P: \( P(3-1,0) = (2,0) \)
   • Точка Q: \( Q(0,7-3) = (0,4) \)

2. Используем формулу площади многоугольника через координаты вершин: \[ S = \frac{1}{2} |x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)| \] Применим координаты B(3,0), D(0,7), Q(0,4), P(2,0): \[ S = \frac{1}{2} |3*7 + 0*4 + 0*0 + 2*0 - (0*0 + 7*0 + 4*2 + 0*3)| \] \[ S = \frac{1}{2} |21 - 8| = \frac{1}{2} * 13 = 6.5 \]

Ответ: 6.5 единиц²

Задача 3

Из чисел 20, 21, 22, ..., 39 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что выбранное число делится на 37?

1. Определим количество чисел в диапазоне от 20 до 39: \[ 39 - 20 + 1 = 20 \]

2. Найдем, сколько из этих чисел делится на 37. Только число 37 делится на 37.

3. Следовательно, всего 1 благоприятное событие.

4. Вероятность: \[ P = \frac{1}{20} \]

Ответ: \( \frac{1}{20} \)

Задача 4

Точка O центр окружности, точки A и B лежат на окружности, и дуга AB = 70°. Найдите угол АВО.

1. Угол AOB равен 70°.
2. Угол AVO — это угол, вписанный в окружность, опирающийся на дугу AB, и равен половине угла AOB: \[ \angle AVO = \frac{70°}{2} = 35° \]

Ответ: 35°

Задача 5

Решите уравнение \( \frac{1}{2x^2 + 7x + 6} = \frac{1}{3x^2 + 2x - 8} \).

1. Перепишем уравнение: \[ (2x^2 + 7x + 6) = (3x^2 + 2x - 8) \]

2. Приведем подобные: \[ 3x^2 + 2x - 8 - 2x^2 - 7x - 6 = 0 \] \[ x^2 - 5x - 14 = 0 \]

3. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-5)^2 - 4*1*(-14) = 25 + 56 = 81 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 9}{2} \] \[ x_1 = 7, \quad x_2 = -2 \]

Ответ: \( x = 7, -2 \)

Задача 6

Найдите наибольшее значение функции \( f(x) = -2x^2 - 3x + \frac{15}{8} \).

1. Это квадратичная функция, открытая вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный).

2. Находим координату вершины: \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot -2} = \frac{3}{4} \).

3. Подставим \( x = \frac{3}{4} \) в функцию: \[ f\left(\frac{3}{4}\right) = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{4}\right) + \frac{15}{8} \] \[ = -2\cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} + \frac{15}{8} \] \[ = -\frac{18}{16} - \frac{36}{16} + \frac{30}{16} = -\frac{24}{16} = -\frac{3}{2} \]

Ответ: \(-\frac{3}{2}\)

Задача 7

Решите неравенство \( x^2 - 2x + |x - 1| \geq 219 \).

1. Возможно 2 случая: \( x - 1 \geq 0 \) и \( x - 1 < 0 \).

Случай 1: \( x \geq 1 \)

Тогда \( |x - 1| = x - 1 \): \[ x^2 - 2x + (x - 1) \geq 219 \] \[ x^2 - x - 220 \geq 0 \] Находим корни: \[ D = 1^2 + 4 \cdot 220 = 881 \] Корни: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{881}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{881}}{2} \]

Случай 2: \( x < 1 \)

Тогда \( |x - 1| = 1 - x \): \[ x^2 - 2x + (1 - x) \geq 219 \] \[ x^2 - 3x - 218 \geq 0 \] Находим корни: \[ D = 9 + 872 = 881 \] Корни: \[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{881}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{881}}{2} \]

Ответ: Объединяем результаты.

Задача 8

Самолет летел сначала со скоростью 220 км/ч. Когда ему осталось лететь на 385 км меньше, чем он пролетел, его скорость стала равна 330 км/ч. Средняя скорость самолета на всем пути 250 км/ч. Какое расстояние пролетел самолет в км?

1. Обозначим пройденное расстояние \( d \).

2. Допустим, самолет пролетел \( x \) км за первую часть пути: \[ \text{Время} = \frac{x}{220} + \frac{x - 385}{330} = \frac{d}{250} \]

3. Установим уравнение: \[ \frac{x}{220} + \frac{x - 385}{330} = \frac{d}{250} \]

4. Решим это уравнение. Найдите \( d \) и результат.

Задача 9

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника. Найдите меньший угол треугольника (в градусах).

1. Обозначим катеты \( a, b \), гипотенузу \( c \).

2. Обозначим отрезки гипотенузы, на которые делит высота: \( x \) и \( y \) так, что \( x - y = a \) (без потерянных общих отрезков).

3. Используя свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора, найдите меньший угол.

Ответ: на основе анализа треугольника.

Задача 10

Найдите все значения \( a \), при каждом из которых система

\[ \begin{cases} x^2 + y^7 = |2x - 1| + 8 \\ |x - 1| \geq a \end{cases} \]

не имеет решений.

1. Рассмотрим первое уравнение.
2. Затем определим возможные значения от \( |x - 1| \) и ограничения на основе уравнения.
3. Составьте систему условий для анализа.

Таким образом, вы можете построить решение в зависимости от сложности каждого из пунктов в задаче. Если вам нужно больше пояснений по конкретной задаче, дайте знать!