Для решения данной задачи мы будем использовать формулу биномиального распределения, так как подбрасывание монеты является независимым испытанием с двумя исходами: «орел» и «решка».
Формула биномиального распределения
Вероятность того, что событие произойдет ( k ) раз в ( n ) испытаниях, определяется формулой:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, который равен количеству способов выбрать ( k ) успешных исходов из ( n ),
- ( p ) — вероятность удачного исхода (в нашем случае ( p = 0.5 ) при подбрасывании симметричной монеты),
- ( n ) — общее количество испытаний,
- ( k ) — количество удачных исходов.
Задача
- Определим вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» (( P(X = 10) )):
- ( n = 16 )
- ( k = 10 )
- ( p = 0.5 )
[
P(X = 10) = \binom{16}{10} (0.5)^{10} (0.5)^{6} = \binom{16}{10} (0.5)^{16}
]
Используем формулу для биномиального коэффициента:
[
\binom{16}{10} = \frac{16!}{10! \cdot (16 - 10)!} = \frac{16!}{10! \cdot 6!}
]
Теперь посчитаем этот коэффициент:
[
\binom{16}{10} = \binom{16}{6} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008
]
Теперь подставим это значение обратно:
[
P(X = 10) = 8008 \cdot (0.5)^{16}
]
- Теперь определим вероятность события «монета выпала решкой ровно 13 раз» (( P(X = 13) )):
- Здесь снова ( n = 16 ), но теперь ( k = 13 ):
[
P(X = 13) = \binom{16}{13} (0.5)^{13} (0.5)^{3} = \binom{16}{13} (0.5)^{16}
]
В данном случае:
[
\binom{16}{13} = \binom{16}{3} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560
]
Таким образом:
[
P(X = 13) = 560 \cdot (0.5)^{16}
]
Сравнение вероятностей
Теперь нам нужно выяснить, во сколько раз вероятность ( P(X = 10) ) больше вероятности ( P(X = 13) ):
[
\frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot (0.5)^{16}}{560 \cdot (0.5)^{16}} = \frac{8008}{560}
]
Теперь делим:
[
\frac{8008}{560} = 14.2857 \approx 14.29
]
То есть, вероятность того, что монета выпала решкой ровно 10 раз, примерно в 14.29 раз больше вероятности события, что она выпала решкой ровно 13 раз.
