Симметричную монету подкидывают 16 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 13…

Для решения данной задачи мы будем использовать формулу биномиального распределения, так как подбрасывание монеты является независимым испытанием с двумя исходами: «орел» и «решка».

Формула биномиального распределения

Вероятность того, что событие произойдет \( k \) раз в \( n \) испытаниях, определяется формулой:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который равен количеству способов выбрать \( k \) успешных исходов из \( n \),
• \( p \) — вероятность удачного исхода (в нашем случае \( p = 0.5 \) при подбрасывании симметричной монеты),
• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество удачных исходов.

Задача

1. Определим вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» (\( P(X = 10) \)):
   • \( n = 16 \)
   • \( k = 10 \)
   • \( p = 0.5 \)

\[ P(X = 10) = \binom{16}{10} (0.5)^{10} (0.5)^{6} = \binom{16}{10} (0.5)^{16} \]

Используем формулу для биномиального коэффициента:

\[ \binom{16}{10} = \frac{16!}{10! \cdot (16 - 10)!} = \frac{16!}{10! \cdot 6!} \]

Теперь посчитаем этот коэффициент:

\[ \binom{16}{10} = \binom{16}{6} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008 \]

Теперь подставим это значение обратно:

\[ P(X = 10) = 8008 \cdot (0.5)^{16} \]

2. Теперь определим вероятность события «монета выпала решкой ровно 13 раз» (\( P(X = 13) \)):
   • Здесь снова \( n = 16 \), но теперь \( k = 13 \):

\[ P(X = 13) = \binom{16}{13} (0.5)^{13} (0.5)^{3} = \binom{16}{13} (0.5)^{16} \]

В данном случае:

\[ \binom{16}{13} = \binom{16}{3} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560 \]

Таким образом:

\[ P(X = 13) = 560 \cdot (0.5)^{16} \]

Сравнение вероятностей

Теперь нам нужно выяснить, во сколько раз вероятность \( P(X = 10) \) больше вероятности \( P(X = 13) \):

\[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot (0.5)^{16}}{560 \cdot (0.5)^{16}} = \frac{8008}{560} \]

Теперь делим:

\[ \frac{8008}{560} = 14.2857 \approx 14.29 \]

То есть, вероятность того, что монета выпала решкой ровно 10 раз, примерно в 14.29 раз больше вероятности события, что она выпала решкой ровно 13 раз.