f(x) = 3x4-5x2

Давайте решим функцию \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 \) и разберемся с ней подробнее. Мы можем рассмотреть её свойства, такие как нахождение корней, анализ поведения функции (возрастание и убывание), а также построение графика.

Шаг 1: Определение функции

Функция \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 \) является многочленом четвертой степени, так как наивысшая степень переменной \( x \) равна 4.

Шаг 2: Поиск критических точек

Для того чтобы найти критические точки, нам нужно вычислить производную функции и приравнять её к нулю:

1. Вычислим производную: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^4 - 5x^2) = 12x^3 - 10x \]

2. Приравняем производную к нулю: \[ 12x^3 - 10x = 0 \] Здесь мы можем вынести общий множитель: \[ 2x(6x^2 - 5) = 0 \]

   Получаем два уравнения: \[ 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] \[ 6x^2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x^2 = 5 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{5}{6} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{\frac{5}{6}} \]

   Таким образом, критические точки: \[ x = 0, \quad x = \sqrt{\frac{5}{6}}, \quad x = -\sqrt{\frac{5}{6}} \]

Шаг 3: Анализ знака производной

Теперь выясним, на каких интервалах функция возрастает или убывает. Мы анализируем знак производной \( f'(x) \):

• На интервале \( (-\infty, -\sqrt{\frac{5}{6}}) \):

  • Подставим \( x = -1 \): \[ f'(-1) = 12(-1)^3 - 10(-1) = -12 + 10 = -2 \quad (\text{функция убывает}) \]

• На интервале \( (-\sqrt{\frac{5}{6}}, 0) \):

  • Подставим \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = 12(-0.5)^3 - 10(-0.5) = -1.5 + 5 = 3.5 \quad (\text{функция возрастает}) \]

• На интервале \( (0, \sqrt{\frac{5}{6}}) \):

  • Подставим \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = 12(0.5)^3 - 10(0.5) = 1.5 - 5 = -3.5 \quad (\text{функция убывает}) \]

• На интервале \( (\sqrt{\frac{5}{6}}, +\infty) \):

  • Подставим \( x = 1 \): \[ f'(1) = 12(1)^3 - 10(1) = 12 - 10 = 2 \quad (\text{функция возрастает}) \]

Шаг 4: Определение точек экстремума

Мы знаем, что функция убывает на \( (-\infty, -\sqrt{\frac{5}{6}}) \), возрастает на \( (-\sqrt{\frac{5}{6}}, 0) \), убывает на \( (0, \sqrt{\frac{5}{6}}) \), и возрастает на \( (\sqrt{\frac{5}{6}}, +\infty) \).

• Таким образом:
  • В точке \( x = -\sqrt{\frac{5}{6}} \) у нас есть локальный максимум.
  • В точке \( x = 0 \) у нас есть локальный минимум.
  • В точке \( x = \sqrt{\frac{5}{6}} \) снова локальный максимум.

Шаг 5: Корни функции

Чтобы найти корни функции \( f(x) = 0 \), решим уравнение: \[ 3x^4 - 5x^2 = 0 \] Вынесем \( x^2 \): \[ x^2(3x^2 - 5) = 0 \] Это даёт корни:

1. \( x^2 = 0 \rightarrow x = 0 \)
2. \( 3x^2 - 5 = 0 \rightarrow x^2 = \frac{5}{3} \rightarrow x = \pm\sqrt{\frac{5}{3}} \)

Итак, у функции \( f(x) \) три корня:

• \( x = 0, \quad x = \sqrt{\frac{5}{3}}, \quad x = -\sqrt{\frac{5}{3}} \)

Шаг 6: График функции

Теперь, зная поведение функции и её корни, мы можем примерно нарисовать график. Он будет выглядеть как "W", с максимумами в \( x = -\sqrt{\frac{5}{6}} \) и \( x = \sqrt{\frac{5}{6}} \), и минимума в \( x = 0 \).

Итог

Таким образом, мы разобрали функцию \( f(x) = 3x^4 - 5x^2 \), нашли её производную, критические точки, исследовали её на монотонность и определили корни. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другой задачей, спрашивайте!