Даны векторы а{1; -2; 3} и с(7; m; 21}. При каком значении m векторы а с 1) коллинеарны 2)перпендикулярны

Давайте решим задачу пошагово.

Даны векторы a = {1; -2; 3} и c = {7; m; 21}. Мы должны определить значение m, при котором векторы a и c коллинеарны и перпендикулярны.

1. Условия коллинеарности векторов

Векторы коллинеарны, если они параллельны, что происходит, когда один вектор является скалярным произведением другого:
\[ \mathbf{c} = k \mathbf{a} \]
где \(k\) — некоторый скаляр.

Это означает, что:

• \(7 = k \cdot 1\)
• \(m = k \cdot (-2)\)
• \(21 = k \cdot 3\)

Из первого уравнения получаем: \[ k = 7 \]

Теперь подставим значение \(k\) в остальные уравнения:

• Для второго: \[ m = 7 \cdot (-2) = -14 \]

• Для третьего: \[ 21 = 7 \cdot 3 \] Это значение верно.

Таким образом, для коллинеарности векторов a и c значение \(m\) должно быть: \[ m = -14 \]

2. Условия перпендикулярности векторов

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов a и c рассчитывается следующим образом: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = a_1 \cdot c_1 + a_2 \cdot c_2 + a_3 \cdot c_3 = 0 \]

Подставляем значения: \[ 1 \cdot 7 + (-2) \cdot m + 3 \cdot 21 = 0 \]

Теперь упростим уравнение: \[ 7 - 2m + 63 = 0 \] \[ 70 - 2m = 0 \]

Решаем уравнение: \[ -2m = -70 \] \[ m = 35 \]

Таким образом, для перпендикулярности векторов a и c значение \(m\) должно быть: \[ m = 35 \]

Ответ:

1. Для коллинеарности: \( m = -14 \)
2. Для перпендикулярности: \( m = 35 \)