Даны векторы а{1; -2; 3} и с(7; m; 21}. При каком значении и векторы а с коллинеарны

Чтобы понять, при каком значении \( m \) векторы \( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \) и \( \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 7 \\ m \\ 21 \end{pmatrix} \) коллинеарны, нужно вспомнить определение коллинеарности векторов.

Определение коллинеарности

Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого, то есть: \[ \mathbf{c} = k \mathbf{a} \] где \( k \) — некоторое скалярное значение (число).

Шаги решения

1. Запишем уравнения: Из коллинеарности векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{c} \) мы можем записать следующие равенства для соответствующих компонент: \[ 7 = k \cdot 1 \quad (1) \] \[ m = k \cdot (-2) \quad (2) \] \[ 21 = k \cdot 3 \quad (3) \]

2. Решим первое уравнение (1): Из уравнения \( 7 = k \cdot 1 \) находим \( k \): \[ k = 7 \]

3. Подставим \( k \) во второе уравнение (2): Теперь подставим найденное значение \( k \) в уравнение для \( m \): \[ m = 7 \cdot (-2) = -14 \]

4. Проверим третье уравнение (3): Чтобы убедиться, что векторы действительно коллинеарны, проверим третье уравнение: \[ 21 = 7 \cdot 3 \] Это уравнение верное, значит, полученное значение \( m \) соответствует условию коллинеарности.

Ответ

Векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{c} \) коллинеарны при \( m = -14 \).