найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии 36; -18; 9;...

Чтобы найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, давайте сначала разберёмся, как устроена геометрическая прогрессия (ГП).

Шаг 1: Определение первого члена и знака

В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число (называемое знаменателем прогрессии).

Из задачи мы видим, что первые три члена прогрессии: 36, -18, 9.

Первый член \( a_1 \) равен 36.

Шаг 2: Нахождение знаменателя

Теперь найдем знаменатель прогрессии \( q \): \[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{-18}{36} = -\frac{1}{2} \] или \[ q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{9}{-18} = -\frac{1}{2} \]

Таким образом, знаменатель \( q \) равен \(-\frac{1}{2}\).

Шаг 3: Формула суммы первых n членов ГП

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad q \neq 1 \] где:

• \( S_n \) — сумма первых n членов прогрессии,
• \( a_1 \) — первый член прогрессии,
• \( q \) — знаменатель прогрессии,
• \( n \) — количество членов (в данном случае 8).

Шаг 4: Подстановка значений

Теперь подставим значения в формулу. Мы ищем сумму первых 8 членов:

• \( a_1 = 36 \),
• \( q = -\frac{1}{2} \),
• \( n = 8 \).

\[ S_8 = 36 \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^8}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} \]

Шаг 5: Вычисление

Сначала посчитаем \( \left(-\frac{1}{2}\right)^8 \): \[ \left(-\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{1}{256} \]

Теперь подставим это значение в выражение для суммы: \[ S_8 = 36 \cdot \frac{1 - \frac{1}{256}}{1 + \frac{1}{2}} \]

Посчитаем знаменатель: \[ 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]

Теперь подставим: \[ S_8 = 36 \cdot \frac{1 - \frac{1}{256}}{\frac{3}{2}} = 36 \cdot \frac{\frac{256}{256} - \frac{1}{256}}{\frac{3}{2}} = 36 \cdot \frac{\frac{255}{256}}{\frac{3}{2}} \]

Упрощаем дробь: \[ \frac{255}{256} \cdot \frac{2}{3} = \frac{510}{768} \]

Теперь считаем: \[ S_8 = 36 \cdot \frac{255}{384} \]

Шаг 6: Упрощение

Умножим: \[ S_8 = \frac{36 \cdot 255}{384} \]

Сократим: \[ S_8 = \frac{9180}{384} = 23.90625 \]

Эта дробь может быть представлена как 23 с остатком, но для задач на сумму, лучше оставить в виде дроби или округлить.

Шаг 7: Заключение

Итак, сумма первых восьми членов данной геометрической прогрессии примерно равна \(23.91\) или \(\frac{255}{32}\) в дробном виде.