2x-y+3z=14 x+2y-2z=-9 -3x+2y-z=1

Давайте решим систему уравнений, состоящую из трех линейных уравнений с тремя переменными. Система выглядит следующим образом:

1. \( 2x - y + 3z = 14 \) (уравнение 1)
2. \( x + 2y - 2z = -9 \) (уравнение 2)
3. \( -3x + 2y - z = 1 \) (уравнение 3)

Шаг 1: Выразим одну переменную через другие

Начнем с уравнения (1). Мы можем выразить \( y \) через \( x \) и \( z \):

\[ -y = 14 - 2x - 3z \implies y = 2x + 3z - 14 \quad (4) \]

Шаг 2: Подставим \( y \) в другие уравнения

Теперь подставим выражение (4) в уравнения (2) и (3).

Подставим в уравнение (2):

\[ x + 2(2x + 3z - 14) - 2z = -9 \] Раскроем скобки:

\[ x + 4x + 6z - 28 - 2z = -9 \] Соберем подобные слагаемые:

\[ 5x + 4z - 28 = -9 \implies 5x + 4z = 19 \quad (5) \]

Подставим в уравнение (3):

\[ -3x + 2(2x + 3z - 14) - z = 1 \] Раскроем скобки:

\[ -3x + 4x + 6z - 28 - z = 1 \] Соберем подобные слагаемые:

\[ x + 5z - 28 = 1 \implies x + 5z = 29 \quad (6) \]

Шаг 3: Решим новую систему из двух уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений (5) и (6):

1. \( 5x + 4z = 19 \) (уравнение 5)
2. \( x + 5z = 29 \) (уравнение 6)

Решим её, выразив \( x \) из уравнения (6):

\[ x = 29 - 5z \quad (7) \]

Теперь подставим (7) в уравнение (5):

\[ 5(29 - 5z) + 4z = 19 \] Раскроем скобки:

\[ 145 - 25z + 4z = 19 \] Соберем подобные слагаемые:

\[ 145 - 21z = 19 \implies -21z = 19 - 145 \implies -21z = -126 \implies z = 6 \]

Шаг 4: Найдем \( x \) и \( y \)

Теперь подставим значение \( z = 6 \) в уравнение (7), чтобы найти \( x \):

\[ x = 29 - 5 \cdot 6 = 29 - 30 = -1 \]

Затем подставим значения \( x \) и \( z \) в уравнение (4), чтобы найти \( y \):

\[ y = 2(-1) + 3 \cdot 6 - 14 = -2 + 18 - 14 = 2 \]

Шаг 5: Запишем ответ

Таким образом, решение системы уравнений:

\[ x = -1, \quad y = 2, \quad z = 6 \]

Проверка

Чтобы убедиться, что решение правильное, подставим значения \( x, y, z \) в оригинальные уравнения:

1. \( 2(-1) - 2 + 3 \cdot 6 = -2 - 2 + 18 = 14 \) — верно.
2. \( -1 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 6 = -1 + 4 - 12 = -9 \) — верно.
3. \( -3(-1) + 2 \cdot 2 - 6 = 3 + 4 - 6 = 1 \) — верно.

Все уравнения соблюдаются, решение системы верное.