(x^2-2x) × (4x+2) > 0

Давайте решим неравенство \((x^2 - 2x) \times (4x + 2) > 0\). Мы разберем это неравенство на части и решим его шаг за шагом. ### Шаг 1: Упрощение выражения Сначала упростим каждый множитель: 1. **Первый множитель:** \(x^2 - 2x\) можно факторизовать: \[ x^2 - 2x = x(x - 2) \] 2. **Второй множитель:** \(4x + 2\) можно вынести общий множитель: \[ 4x + 2 = 2(2x + 1) \] Теперь наше неравенство может быть записано так: \[ x(x - 2) \times 2(2x + 1) > 0 \] ### Шаг 2: Упрощение неравенства Мы можем опустить множитель 2, так как он положителен и не влияет на знак: \[ x(x - 2)(2x + 1) > 0 \] ### Шаг 3: Нахождение нулей Чтобы решить неравенство, найдем нули каждого множителя: 1. \(x = 0\) 2. \(x - 2 = 0 \implies x = 2\) 3. \(2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}\) Таким образом, нули функции - это точки \(x = 0\), \(x = 2\), и \(x = -\frac{1}{2}\). ### Шаг 4: Построение числовой прямой и анализ знаков Теперь мы разместим найденные нули на числовой прямой и проанализируем знаки произведения \(x(x - 2)(2x + 1)\) в промежутках между этими нулями. Рассмотрим интервалы: 1. \((-\infty, -\frac{1}{2})\) 2. \((- \frac{1}{2}, 0)\) 3. \((0, 2)\) 4. \((2, +\infty)\) Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала, чтобы определить знак выражения. - **Интервал \((-\infty, -\frac{1}{2})\)**: - Пусть \(x = -1\): \[ (-1)(-1 - 2)(2(-1) + 1) = (-1)(-3)(-1) = -3 < 0 \] - **Интервал \((- \frac{1}{2}, 0)\)**: - Пусть \(x = -\frac{1}{4}\): \[ (-\frac{1}{4})(-\frac{1}{4} - 2)(2(-\frac{1}{4}) + 1) = (-\frac{1}{4})(-\frac{9}{4})(\frac{1}{2}) > 0 \] - **Интервал \((0, 2)\)**: - Пусть \(x = 1\): \[ (1)(1 - 2)(2(1) + 1) = (1)(-1)(3) = -3 < 0 \] - **Интервал \((2, +\infty)\)**: - Пусть \(x = 3\): \[ (3)(3 - 2)(2(3) + 1) = (3)(1)(7) = 21 > 0 \] ### Шаг 5: Составление интервалов Теперь мы можем подытожить знаки: - \((-\infty, -\frac{1}{2})\): знак отрицательный, не подходит. - \((- \frac{1}{2}, 0)\): знак положительный, подходит. - \((0, 2)\): знак отрицательный, не подходит. - \((2, +\infty)\): знак положительный, подходит. ### Шаг 6: Запись окончательного ответа Неравенство выполняется для промежутков: \[ (-\frac{1}{2}, 0) \cup (2, +\infty) \] Таким образом, ответ: \[ x \in (-\frac{1}{2}, 0) \cup (2, +\infty) \] Это и есть решение неравенства. Если будут какие-либо вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!