(x^2-2x) × (4x+2) > 0

Давайте решим неравенство \((x^2 - 2x) \times (4x + 2) > 0\). Мы разберем это неравенство на части и решим его шаг за шагом.

Шаг 1: Упрощение выражения

Сначала упростим каждый множитель:

1. Первый множитель: \(x^2 - 2x\) можно факторизовать:

   \[ x^2 - 2x = x(x - 2) \]

2. Второй множитель: \(4x + 2\) можно вынести общий множитель:

   \[ 4x + 2 = 2(2x + 1) \]

Теперь наше неравенство может быть записано так:

\[ x(x - 2) \times 2(2x + 1) > 0 \]

Шаг 2: Упрощение неравенства

Мы можем опустить множитель 2, так как он положителен и не влияет на знак:

\[ x(x - 2)(2x + 1) > 0 \]

Шаг 3: Нахождение нулей

Чтобы решить неравенство, найдем нули каждого множителя:

1. \(x = 0\)
2. \(x - 2 = 0 \implies x = 2\)
3. \(2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}\)

Таким образом, нули функции - это точки \(x = 0\), \(x = 2\), и \(x = -\frac{1}{2}\).

Шаг 4: Построение числовой прямой и анализ знаков

Теперь мы разместим найденные нули на числовой прямой и проанализируем знаки произведения \(x(x - 2)(2x + 1)\) в промежутках между этими нулями. Рассмотрим интервалы:

1. \((-\infty, -\frac{1}{2})\)
2. \((- \frac{1}{2}, 0)\)
3. \((0, 2)\)
4. \((2, +\infty)\)

Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала, чтобы определить знак выражения.

• Интервал \((-\infty, -\frac{1}{2})\):

  • Пусть \(x = -1\): \[ (-1)(-1 - 2)(2(-1) + 1) = (-1)(-3)(-1) = -3 < 0 \]

• Интервал \((- \frac{1}{2}, 0)\):

  • Пусть \(x = -\frac{1}{4}\): \[ (-\frac{1}{4})(-\frac{1}{4} - 2)(2(-\frac{1}{4}) + 1) = (-\frac{1}{4})(-\frac{9}{4})(\frac{1}{2}) > 0 \]

• Интервал \((0, 2)\):

  • Пусть \(x = 1\): \[ (1)(1 - 2)(2(1) + 1) = (1)(-1)(3) = -3 < 0 \]

• Интервал \((2, +\infty)\):

  • Пусть \(x = 3\): \[ (3)(3 - 2)(2(3) + 1) = (3)(1)(7) = 21 > 0 \]

Шаг 5: Составление интервалов

Теперь мы можем подытожить знаки:

• \((-\infty, -\frac{1}{2})\): знак отрицательный, не подходит.
• \((- \frac{1}{2}, 0)\): знак положительный, подходит.
• \((0, 2)\): знак отрицательный, не подходит.
• \((2, +\infty)\): знак положительный, подходит.

Шаг 6: Запись окончательного ответа

Неравенство выполняется для промежутков:

\[ (-\frac{1}{2}, 0) \cup (2, +\infty) \]

Таким образом, ответ:

\[ x \in (-\frac{1}{2}, 0) \cup (2, +\infty) \]

Это и есть решение неравенства. Если будут какие-либо вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!